Question

5．如图所示，OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，OCA导轨的形状满足方程y=1.0sin（$\frac{π}{3}$x）（单位：m）．O、C处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R₁=3.0Ω、R₂=6.0Ω（导轨其它部分电阻不计）．在xOy内存在B=0.2T的匀强磁场，方向如图．现有一长1.5m的金属棒在水平外力F作用下以速度v=5.0m/s水平向右匀速运动．在设棒与导轨接触良好，不计棒的电阻．求：
（1）外力F的最大值；
（2）金属棒在导轨上运动时R₁消耗的最大电功率；
（3）金属棒滑动导轨的过程中，外力所做的功．

Answer 1

分析 （1）金属棒在导轨上从O点滑动到A点，切割磁感线产生电动势，有效切割长度y按正弦规律变化，当y最大时，感应电流最大，安培力最大，外力F最大．棒做匀速运动，外力始终与安培力平衡，当感应电流最大时，安培力最大，则外力也最大，由F=BIL公式求出外力的最大值；
（2）当y最大时，感应电流最大，电阻丝R₁上消耗的功率最大．根据电功率计算公式求解R₁的最大功率；
（3）金属棒滑过导轨OA的过程，外力所做的功等于电路中产生的焦耳热，根据焦耳定律求解．

解答 解：（1）金属棒滑至C处，有效切割长度最大，金属棒上感应电动势最大，
由于y=1.0sin（$\frac{π}{3}$x），令y=0，有OA长度为x_A=3m
金属棒滑至C点时有：x_C=$\frac{{x}_{A}}{2}$=1.5m
故y_C=1.0sin（$\frac{π}{3}$×1.5）m=1.0m
电路总电阻为：R_总=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=2Ω
感应电动势为：E_C=By_Cv
感应电流最大值为 I_m=$\frac{{E}_{c}}{{R}_{总}}$=0.5A
金属棒匀速通过金属导轨C处时，外力有最大值为：
F_m=BI_my_C=0.2×0.5×1N=0.1N；
（2）通过电阻R₁的电流为：I₁=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}{I}_{m}$=$\frac{1}{3}$A
R₁的最大功率为：P_1m=I₁²R₁=0.33W
（3）根据法拉第电磁感应定律可得：E=Byv=Bv•1.0sin（$\frac{π}{3}$x），
而x=vt
所以得：E=1.0sin$\frac{5π}{3}$t（V），
所以感应电动势有效值为：
E_有=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$V，
t=$\frac{{x}_{A}}{v}$=0.6s
由能量守恒得：W_外=Q=$\frac{{E}_{有}^{2}}{{R}_{总}}t$=0.15J
答：（1）外力F的最大值为0.1N；
（2）金属棒在导轨上运动时R₁消耗的最大电功率为0.33W；
（3）金属棒滑动导轨的过程中，外力所做的功为0.15J．

点评 本题是产生正弦式电流的一种方式，运用电磁感应的基本规律得到感应电动势和感应电流的表达式，要注意的是求焦耳热时要用电流的有效值．