Question

16．一轻绳跨过两个等高的轻定滑轮（不计大小和摩擦），两端分别挂上质量为m₁=4kg和m₂=2kg的物体，如图所示，在滑轮之间的一段绳上悬挂物体m，为使三个物体能保持平衡，求m的取值范围．

Answer 1

分析 C物体处于平衡状态，受力平衡，对C受力分析，根据力的平衡列出等式，式子中变量较多，我们从消元开始解题，由两式变形可以消去θ₂，把要求的变量用含有θ₁的式子表达，根据三角函数的特点，得到结果．

解答 解：方法一：平衡时，O点受力如图所示

在竖直方向上建立方程：T₁cos θ₁+T₂cos θ₂=T=mg，
在水平方向上有：T₁sin θ₁=T₂sin θ₂，
将T₁=m₁g=40 N，T₂=m₂g=20 N代入得：
4cos θ₁+2cos θ₂=m，2sin θ₁=sin θ₂
所以m=4$\sqrt{1-\frac{1}{4}si{n}^{2}{θ}_{2}}$+2cos θ₂
进行如下讨论：
当θ₂=0°时，m最大m_max=6 kg，
当θ₂=90°，m最小m_min=2$\sqrt{3}$ kg，
因为θ₂=0°、θ₂=90°时取不到，
故m平衡时的取值范围是2$\sqrt{3}$ kg＜m＜6 kg；
方法二：受力分析如图所示

当T₁、T₂同向时，m_max=6 kg，
当T₂水平时，m_min=2$\sqrt{3}$ kg，
因为m_min、m_max取不到，故2$\sqrt{3}$ kg＜m＜6 kg．
答：m的取值范围为2$\sqrt{3}$ kg＜m＜6 kg．

点评 本题也可以采用极值法，绳子的连接点三力平衡，其中重力方向竖直，两个拉力的大小恒定，故要确定拉力合力范围，但要考虑实际情况：①当θ₁与θ₂趋向于零时，m取最大值；②当较小的力趋向水平时，m取最小值．