Question

15．据预测，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重力为700N的人在“宜居”行星表面的重力将变为1120N．该行星绕恒星A旋转，其到恒星A的距离是地球到太阳距离的3倍，恒星A的质量为太阳质量的12倍．由此可推知，该行星的半径是地球半径的2倍，在该行星上的“一年”与在地球上的“一年”之比为3：2．

Answer 1

分析 （1）根据一个人地球表面与该行星表面重力之比，即可求出该行星表面与地球表面重力加速度之比．
在忽略自转的情况下，万有引力等于物体所受的重力，所以根据重力之比，可以该行星的半径与地球半径之比．
（2）行星绕恒星A做匀速圆周运动，由恒星A的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可以列式得到该行星公式周期的表达式，同理，得到地球绕太阳周期的表达式，即可求出行星与地球公式周期之比，即是在该行星上的“一年”与在地球上的“一年”之比．

解答 解：（1）在地球表面，有G_地=mg_地．
在该行星表面处，有G_行=mg_行．
则得，该行星表面与地球表面重力加速度之比为：
g_行：g_地=G_行：G_地=1120N：700N=1.6：1
在忽略自转的情况下，万有引力等于物体所受的重力得$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
有 R²=$\frac{GM}{g}$
故$\frac{{{R}_{行}}^{2}}{{{R}_{地}}^{2}}=\frac{{M}_{行}{g}_{地}}{{M}_{地}{g}_{行}}$=$6.4×\frac{1}{1.6}$=4
所以该行星的半径与地球半径之比为2：1．
（2）对于行星绕恒星的运动，由恒星的万有引力提供行星的向心力，则有$G\frac{{M}_{恒}{m}_{行}}{{r}^{2}}$=${m}_{行}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
得行星公转周期为 T=2$π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{G{M}_{恒}}}$
则得：该行星公转与地球公式周期之比为$\frac{{T}_{行}}{{T}_{地}}=\sqrt{{（\frac{{r}_{行}}{{r}_{地}}）}^{3}}×\sqrt{\frac{{M}_{太}}{{M}_{A}}}$=$\frac{3}{2}$
即在该行星上的“一年”与在地球上的“一年”之比为3：2．
故答案为：2；3：2．

点评 第1题根据黄金代换式g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$研究行星的半径与地球半径之比．第2题要建立行星绕恒星运动的模型，根据恒星的万有引力提供行星的向心力，列式求解周期关系．