题目内容
7．如图甲所示，在xOy坐标平面的第一象限（包括x、y轴）内存在磁感应强度大小为B0、方向垂直于xOy平面且随时间做周期性变化的匀强磁场，如图乙所示，规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正．在y轴左侧有一对竖直放置的平行金属板M、N，两板间的电势差为U0．一质量为m、电量为q的带正电粒子（重力和空气阻力均忽略不计），从贴近M板的中点无初速释放，通过N板小孔后从坐标原点O以某一速度沿x轴正方向垂直射入磁场中，经过一个磁场变化周期T0（T0未知）后到达第一象限内的某点P，此时粒子的速度方向恰好沿x轴正方向．
（1）求粒子进入磁场作匀速圆周运动时的运动半径；
（2）若粒子在t=0时刻从O点射入磁场中，求粒子在P点纵坐标的最大值ym及相应的磁场变化周期T0的值；
（3）若在上述（2）中，第一象限内y=ym处平行x轴放置有一屏幕，如图甲，磁场变化周期为上述（2）中T0，但M、N两板间的电势差U可以在U0＜U＜9U，范围内变化，粒子仍在t=0时刻从O点射入磁场中，求粒子可能击中的屏幕范围．
分析 （1）由动能定理求出粒子进入磁场时的速度，然后又洛伦兹力提供向心力求出粒子运动的半径；
（2）根据几何知识求出P点横坐标和纵坐标与粒子圆周运动半径的关系．根据粒子在第一象限运动的条件求解P点的纵坐标的最大值及相应的磁场变化周期T0的值．
（3）结合前两问的公式，写出粒子的半径的范围，然后画出粒子运动的轨迹图，最后结合几何关系得出粒子可能的范围．
解答 解：（1）设粒子被电场加速获得的速度是v0，由动能定理得：$q{U}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$
粒子进入磁场后做圆周运动的轨道半径为r，根据牛顿第二定律得$q{v}_{0}{B}_{0}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：$r=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}=\frac{1}{{B}_{0}}•\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$
（2）设两段圆弧的圆心O1O2的连线与y轴夹角为θ，P点的纵坐标为y，圆心O2到y轴之间的距离为x，则由几何关系，得
$\overline{O{O}_{1}}=\overline{P{O}_{2}}=r$，$\overline{{O}_{1}{O}_{2}}=2r$
y=2r+2rcosθ
sinθ=$\frac{x}{2r}$
保证粒子在第一象限内运动，x≥r
由几何关系可知当θ=30°时，y取最大，${y}_{m}=2r+2rcos30°=（2+\sqrt{3}）r=（2+\sqrt{3}）•$$\frac{1}{{B}_{0}}•\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$
设粒子在磁场中运动的周期为T，则$T=\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$由几何关系知粒子在磁场中转过（180°-30°）=150°时磁场开始改变方向，即在磁场变化的半个周期内粒子转过150°，则：$\frac{{T}_{0}}{2}=\frac{150°}{360°}•T=\frac{5}{12}T$
解得：${T}_{0}=\frac{5}{6}T=\frac{5πm}{3q{B}_{0}}$
（3）由U0＜U＜9U，和${v}_{0}=\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$得：v0＜v＜3v0．
在磁场中运动的半径：r＜R＜3r，运动轨迹如图，则由几何关系可得，打在屏幕上的范围的最左端如图中②所示，该点的横坐标：x1=0，
打在最右端的轨迹如图中③所示，由几何关系得：$（{y}_{m}-{R}_{m}）^{2}+{x}_{2}^{2}={R}_{m}^{2}$
联立解得：${x}_{2}=\sqrt{5+2\sqrt{3}}r$=$\sqrt{\frac{2（5+3\sqrt{3}）m{U}_{0}}{q{B}_{0}^{2}}}$
粒子可能击中的屏幕范围是：$0≤x≤\sqrt{\frac{2（5+3\sqrt{3}）m{U}_{0}}{q{B}_{0}^{2}}}$
答：（1）粒子进入磁场作匀速圆周运动时的运动半径是$\frac{1}{{B}_{0}}•\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$；
（2）若粒子在t=0时刻从O点射入磁场中，粒子在P点纵坐标的最大值是$\frac{2+\sqrt{3}}{{B}_{0}}•\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$，相应的磁场变化周期T0的值是$\frac{5πm}{3q{B}_{0}}$；
（3）粒子可能击中的屏幕范围是$0≤x≤\sqrt{\frac{2（5+3\sqrt{3}）m{U}_{0}}{q{B}_{0}^{2}}}$．
点评 本题是带电粒子在交变磁场中运动的问题，画出粒子运动的轨迹，根据几何知识求解半径是关键．
如图所示，质量为4kg，长为2m的平板车C静止于光滑水平地面上，质量均为5kg的A、B小滑块（可视为质点）分别静放于车面上的正中间和右端，车顶面到水平地面的距离为1.25m，A、B与C间的动摩擦因数为均为0.2，g取10m/s2，假定A．B与C间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，设光滑水平面无限长，现给车的右端施加一个水平向右大小为30N的持续力，试求：
如图所示，竖直平行直线为匀强电场的电场线，电场方向未知，A，B是电场中的两点．AB两点的连线长为l，且与水平方向的夹角为θ=45°．一个质量为m，电荷量为-q的带电粒子以初速度v0从A点垂直进入电场，该带电粒子恰好能经过B点．不考虑带电粒子的重力大小．| A． | 海市蜃楼、沙漠蜃景都是由于光的多次折射和全反射而产生的 | |
| B． | 当光由空气斜射入水中时，折射角与入射角成正比 | |
| C． | 光导纤维中传递信息是利用了光的色散原理 | |
| D． | 频率不同的电磁波在同一种介质中传播速度大小不相同 |
| A． | 已知阿伏伽德罗常数和某物质的摩尔质量，一定可以求出该物质分子的质量 | |
| B． | 满足能量守恒定律的宏观过程不一定能自发地进行 | |
| C． | 布朗运动就是液体分子的运动，它说明分子做永不停息的无规则运动 | |
| D． | 当分子间距离增大时，分子间的引力和斥力同时减小，分子势能一定增大 |
山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动．一滑雪道ABC的底部是一个半径为R的圆，圆与雪道相切于C点，C的切线沿水平方向，到水平雪地之间是高为H的峭壁，D是圆的最高点，如图所示．运动员从A点由静止下滑，刚好经过圆轨道最高点D旋转一周，再滑到C点后被水平抛出，当抛出时间为t时，迎面遭遇一股强风，最终运动员落到了雪地上，落地时速度大小为υ．已知运动员连同滑雪装备总质量为m，重力加速度为g，不计遭遇强风前的空气阻力和雪道及道的摩擦阻力，求：| A． | 照相机镜头的偏振滤光片可使水下影像清晰 | |
| B． | 用激光读取光盘上记录的信息是利用激光相干性好的特点 | |
| C． | 鸣笛汽车驶近路人的过程中，路人听到的声波频率与波源相比减小 | |
| D． | 天空看起来是蓝色的是因为波长较长的光比波长较短的光更容易被大气散射 |