Question

5．如图所示，一传送带AB段的倾角为37°，BC段弯曲成圆弧形，CD段水平，A、B之间的距离为12.8m，BC段长度可忽略，传送带始终以v=4m/s的速度逆时针方向运行．现将一质量为m=1kg的工件无初速度放到A端，若工件与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，在BC段运动时，工件速率保持不变，工件到达D点时速度刚好减小到与传送带相同．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：

（1）工件从A到D所需的时间．
（2）工件从A到D的过程中，与传送带之间因摩擦产生的热量．

Answer 1

分析 （1）滑块在传送带上先加速下滑；速度与传送带相等后，由于μ＜tan37°，继续加速；在CD上是减速；根据牛顿第二定律列式求解三段的加速度，根据运动学公式列式求解；
（2）先确定各段过程中传送带和滑块的位移，得到相对位移，最后根据公式Q=f•△S_相对列式求解．

解答 解：（1）滑块在传送带上先加速下滑，根据牛顿第二定律，有：
mgsin37°+μmgcos37°=ma₁
解得加速度为：a₁=g（sin37°+μcos37°）=10×（0.6+0.5×0.8）=10m/s²
时间为：：${t}_{1}=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{4}{10}=0.4s$
位移为：${x}_{1}=\frac{v}{2}{t}_{1}=\frac{4}{2}×0.4=0.8m$
速度与传送带相等后，由于μ＜tan37°，继续加速，根据牛顿第二定律，有：
mgsin37°-μmgcos37°=ma₂
解得：a₂=g（sin37°-μcos37°）=10×（0.6-0.5×0.8）=2m/s²
根据速度位移公式，有：
${v}_{1}^{2}-{v}^{2}=2{a}_{2}（L-{x}_{1}）$ 
代入数据解得：v₁=8m/s 
故运动时间为：${t}_{2}=\frac{{v}_{1}-v}{{a}_{2}}=\frac{8-4}{2}=2s$ 
滑上水平传送带后，加速度为：a₃=-μg=-5m/s²
根据速度公式，有：${t}_{3}=\frac{v-{v}_{1}}{{a}_{3}}=\frac{4-8}{-5}=0.8s$
故t=t₁+t₂+t₃=0.4+2+0.8=3.2s．
（2）从A到B过程，传送带的对地路程：
S=v（t₁+t₂）=4×（0.4+2）=9.6m
从A到B过程，滑块相对传送带的路程：
△S_相对=（vt₁-x₁）+[（L-x₁）-vt₂]=4.8m
故工件从A到B的过程中与传送带之间因摩擦产生的热量：
Q₁=μmgcos37°•△S_相对=0.5×1×10×0.8×4.8=19.2J
从C到D过程，物体的对地路程：
x₃=$\frac{v+{v}_{1}}{2}{t}_{3}$=$\frac{4+8}{2}×0.8$=4.8m
从C到D过程，传送带的对地路程：
S′=vt₃=4×0.8=3.2m
故工件从C到D的过程中与传送带之间因摩擦产生的热量：
Q₂=μmg（x₃-S′）=0.5×1×10×（4.8-3.2）=8J
故工件从A到D的过程中，与传送带之间因摩擦产生的热量：
Q=Q₁+Q₂=19.2J+8J=27.2J．
答：（1）工件从A到D所需的时间为3.2s；
（2）工件从A到D的过程中，与传送带之间因摩擦产生的热量为27.2J．

点评 本题关键是明确滑块在各段过程中的受力情况、运动情况，根据牛顿第二定律列式求解加速度，根据运动学公式求解运动学参量，根据功能关系求解热量情况．