Question

9．如图，水平面内有一半径r=4m的光滑金属圆形导轨，圆形导轨的右半部分的电阻阻值R=1.5Ω，其余部分电阻不计，圆形导轨的最左边A处有一个断裂口，使圆形导轨不闭合．将质量m=2kg，电阻不计的足够长直导体棒搁在导轨GH处，并通过圆心O．空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T．在外力作用下，棒由GH处以一定的初速度向左做与GH方向垂直的直线运动，运动时回路中的电流强度始终与初始时的电流强度相等．
（1）若初速度v₁=3m/s，求棒在GH处所受的安培力大小F_A．
（2）若初速度v₂=1.5m/s，求棒向左移动距离2m所需时间△t．
（3）在棒由GH处向左移动2m的过程中，外力做功W=7J，求初速度v₃．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由安培力公式求出安培力．
（2）由法拉第电磁感应定律与E=BLv求出时间；
（3）应用动能定理求出棒的初速度．

解答 解：（1）棒在GH处速度为v₁，感应电动势为：E=Blv₁，
感应电流为：I₁=$\frac{E}{R}$=$\frac{Bl{v}_{1}}{R}$，
安培力为：F_A=BIl=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{1}}{R}$，
代入数据解得：F_A=32N；

（2）设棒移动距离a，由几何关系，磁通量变化：
△Φ=B（$\frac{π}{6}$r²+$\frac{1}{2}$a•2rcos30°），
题设运动时回路中电流保持不变，即感应电动势不变，有：E=Blv₂
因此：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B（\frac{π}{6}{r}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}ar）}{△t}$=Blv₂，
解得：$△t=\frac{{（\frac{{π{r^2}}}{6}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}ar）}}{{l{v_2}}}=\frac{{（\frac{{{4^2}π}}{6}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}×2×4）}}{8×1.5}s=1.275s≈1.28s$；

（3）设外力做功为W，克服安培力做功为W_A，导体棒在由GH处向左移动2m处的速度为v’₃
由动能定理：W-W_A=$\frac{1}{2}$mv₃′²-$\frac{1}{2}$mv₃²，
克服安培力做功：W_A=I₃²R△t′，其中：I₃=$\frac{Bl{v}_{3}}{R}$，$△t′=\frac{{（\frac{{π{r^2}}}{6}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}ar）}}{{l{v_3}}}$，
联立解得：W_A=$\frac{（\frac{π{r}^{2}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}ar）{B}^{2}l{v}_{3}}{R}$，

由于电流始终不变，有：v₃′=$\frac{2r}{2rcos30°}$v₃=$\frac{2}{\sqrt{3}}$v₃，
因此：W=$\frac{（\frac{π{r}^{2}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}ar）{B}^{2}l{v}_{3}}{R}$+$\frac{1}{2}$m（$\frac{{2}^{2}}{3}$-1）v₃²，
代入数值得：v₃²+20.4×3v₃-21=0，
解得：v₃=0.34m/s，（v₃=-61.54m/s舍去）；
答：（1）若初速度v₁=3m/s，棒在GH处所受的安培力大小F_A为32N．
（2）若初速度v₂=1.5m/s，求棒向左移动距离2m所需时间△t为1.28s．
（3）在棒由GH处向左移动2m的过程中，外力做功W=7J，初速度v₃为0.34m/s．

点评 本题是电磁感应与力学相结合的题，难度较大，分析清楚导体棒的运动过程，应用E=BLv、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式、动能定理分析答题．