Question

17．如图甲所示，两块相同的平行金属板M、N正对着放置，相距为$\frac{R}{2}$，板M、N上的小孔A、C与O三点共线，CO=R，连线AO垂直于板M、N．以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场．收集屏PQ上各点到O点的距离都为2R，两端点P、Q关于连线AO对称，屏PQ所对的圆心角θ=120°．质量为m、电荷量为e的质子连续不断地经A进入M、N间的电场，接着通过C进入磁场．质子重力及质子间的相互作用均不计，质子在A处的速度看作零．
（1）若M、N间的电压U_MN=+U时，求质子进入磁场时速度的大小v₀．
（2）若M、N间接入如图乙所示的随时间t变化的电压U_MN=|U₀sin$\frac{π}{T}$t|（式中U₀=$\frac{3e{B}^{2}{R}^{2}}{m}$，周期T已知），且在质子通过板间电场区域的极短时间内板间电场视为恒定，则质子在哪些时刻自s1处进入板间，穿出磁场后均能打到收集屏PQ上？
（3）在上述（2）问的情形下，当M、N间的电压不同时，质子从s₁处到打在收集屏PQ上经历的时间t会不同，求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）质子在电场中做加速运动，由动能定理可求得质子进入磁场时的速度；
（2）由动能定理可得出质子进入磁场时的速度表达式；由几何关系可知质子能打在收集屏上的临界条件，则由牛顿第二定律可求得能打在屏上的质子进入电场的时刻；
（3）根据质子在电场与磁场中运动的关系可推导出质子运动的最大时间．

解答 解：（1）根据动能定理，有：$eU=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-0$
解得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
（2）质子在板间运动，根据动能定理，有$e{U}_{MN}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-0$
质子在磁场中运动，根据牛顿第二定律，有：$evB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
若质子能打在收集屏，轨道半径r与R应满足的关系：
$r≥\sqrt{3}R$
解得板间电压：${U}_{MN}^{\;}≥\frac{3e{B}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2m}$
结合图象可知：质子在$t=kT+\frac{T}{6}～kT+\frac{5T}{6}（k=0、1、2…）$之间任一时刻从${S}_{1}^{\;}$处进入电场，均能打到收集屏上
（3）M、N间的电压越小，质子穿出电场进入磁场时的速度越小，质子在极板间经历的时间越长，同时在磁场中运动轨迹的半径越小，在磁场中经历的时间也会越长，出磁场后打到收集屏前作匀速运动的时间也越长，所以当质子打在收集屏的P端时，对应时间t最长，两板间的电压此时为：
${U}_{MN}^{\;}=\frac{1}{2}{U}_{0}^{\;}$
在板间电场中运动时间：${t}_{1}^{\;}=\frac{R}{v}$
在磁场中运动时间：${t}_{2}^{\;}=\frac{60°}{360°}×\frac{2πr}{v}=\frac{π\sqrt{3}R}{3v}$
出磁场后打到收集屏前作匀速运动的时间：${t}_{3}^{\;}=\frac{R}{v}$
所以，运动总时间为：
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$=$（\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{π}{3}）\frac{\sqrt{3}R}{v}$=$（\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{π}{3}）\frac{m}{eB}$
答：（1）质子进入磁场时速度的大小为$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
（2）质子在$t=kT+\frac{T}{6}～kT+\frac{5T}{6}（k=0、1、2…）$之间任一时刻从${S}_{1}^{\;}$处进入电场均能打到收集屏上
（3）时间t的最大值为$（\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{π}{3}）\frac{m}{eB}$

点评 本题要注意质子在电场中加速后进入磁场中偏转；加速电场中由动能定理求出速度，而在磁场中的运动要由几何关系确定圆心和半径，再根据牛顿第二定律及向心力公式列式求解．本题中的难点在于找出时间范围及时间的最大值．