Question

3．如图所示，平面直角坐标系xOy中，在第一象限以内有一条分界线OB，在分界线OB以上的区域存在平行于y轴竖直向下的匀强电场，在第一象限分界线OB以下的区域存在有垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未标出）．一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子（重力不计）以初速度v₀从A（0、L）点沿平行x轴方向进入电场，在分界线上P（L、$\frac{L}{2}$）点处进入磁场，并从x轴的F（$\frac{3}{4}$L、0）点离开磁场，求：

（1）电场强度的大小和带电粒子经过P点时的速度；
（2）磁场的磁感应强度的大小．

Answer 1

分析 （1）根据受力求得加速度，然后由类平抛运动规律求解；
（2）根据几何关系求得运动半径，然后由洛伦兹力做向心力求解．

解答 解：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，则水平方向上有：L=v₀t；竖直方向上有：$a=\frac{qE}{m}$，$\frac{1}{2}L=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$；
所以，$E=\frac{mL}{q{t}^{2}}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$；在P点竖直方向上粒子的分速度${v}_{y}=at=\frac{qE}{m}•\frac{L}{{v}_{0}}={v}_{0}$，所以，P点的速度为$v=\sqrt{2}{v}_{0}$，速度与水平的夹角为：$θ=arctan\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=45°$；
（2）根据圆心在PF的垂直平分线，且圆心到P、F的距离相等可得：${R}^{2}=（\frac{1}{2}L-\frac{\sqrt{2}}{2}R）^{2}+（\frac{1}{4}L-\frac{\sqrt{2}}{2}R）^{2}$，所以，$R=\frac{5\sqrt{2}}{24}L$；
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力做向心力，故有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$B=\frac{mv}{qR}=\frac{24m{v}_{0}}{5qL}$；
答：（1）电场强度的大小为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$；带电粒子经过P点时的速度为$\sqrt{2}{v}_{0}$；
（2）磁场的磁感应强度的大小为$\frac{24m{v}_{0}}{5qL}$．

点评 带电粒子的运动问题，加速电场一般由动能定理或匀加速运动规律求解；偏转电场由类平抛运动规律求解；磁场中的运动问题则根据圆周运动规律结合几何条件求解．