Question

3．如图所示，在矩形区域CDNM内有沿CF方向的匀强电场，电场强度的大小E=1.5×10⁵N/C；在矩形区域MNGF内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.1T．已知CD=MN=FG=2m，CM=MF=0.2m．在CD边中点O处有一放射源，沿纸面向电场中各方向均匀地辐射出速率均为v₀=1×10⁴m/s的某种带正电粒子，粒子质量m=6.4×10^-27kg，电荷量q=3.2×10^-29C，粒子可以无阻碍地通过边界MN进入磁场，不计粒子重力，求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（2）边界FG上有粒子射出磁场的范围长度．

Answer 1

分析 （1）带电粒子先经电场加速，再进入匀强磁场中做匀速圆周运动．先由动能定理求粒子进入磁场时的速度，由牛顿第二定律求在磁场中做圆周运动的半径；
（2）粒子向左垂直于电场方向射入电场中的粒子在该方向的位移最大，通过磁场后打在边界FG上最左端；粒子向右垂直于电场方向射入电场中的粒子在该方向的位移最大，通过磁场偏转恰好与边界FG相切，即射出磁场的最右端．画出两种情况下粒子运动的轨迹．
研究粒子在电场中类平抛运动的过程：运用运动的分解，根据牛顿第二定律和运动学公式相结合求出粒子离开电场时的速度方向与电场方向的夹角，以及垂直于电场方向的位移．根据几何知识求边界FG上有粒子射出磁场的范围长度；

解答 解：（1）设带电粒子进入磁场时的速度为v，由动能定理得：
$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，其中d=0.2m
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得：r=0.4m
（2）如图所示，粒子垂直于电场方向向左射入电场中的粒子在该方向的位移最大，通过磁场后，打在边界FG上最左端．设该粒子离开电场时，速度方向与电场方向的夹角为${θ}_{1}^{\;}$．．该粒子在电场中运动时

加速度大小$a=\frac{qE}{m}$
沿电场方向的位移${y}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}=d$
垂直电场方向的位移：${x}_{1}^{\;}={v}_{0}^{\;}t$=$\frac{2\sqrt{3}}{15}m$
离开电场时$sin{θ}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{v}$
解得${θ}_{1}^{\;}=30°$
所以${x}_{左}^{\;}={x}_{1}^{\;}+r（1-cos30°）$
解得：${x}_{左}^{\;}=\frac{6-\sqrt{3}}{15}m＜1m$
由几何关系可知，粒子垂直电场方向向右射入电场时进入电场后，经过磁场偏转恰好与边界FG相切．在磁场中对应的偏转角${θ}_{2}^{\;}=60°$，则
${x}_{右}^{\;}={x}_{1}^{\;}+rsin60°$
解得${x}_{右}^{\;}=\frac{\sqrt{3}}{3}m＜1m$
所以带电粒子从边界FG射出磁场时通过的范围长度$x={x}_{左}^{\;}+{x}_{右}^{\;}=\frac{6+4\sqrt{3}}{15}m$
答：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径0.4m；
（2）边界FG上有粒子射出磁场的范围长度$\frac{6+4\sqrt{3}}{15}m$．

点评 本题考查动能定理、牛顿第二定律，及类平抛运动处理规律，让学生熟练掌握它们的解题思路与方法．注意粒子进入匀强电场时，恰好做类平抛运动时偏转位移最大，磁场中画出轨迹，确定边界范围，由几何知识求边界的长度．