Question

20．美国“火星探路者”宇宙飞船经过4亿多公里的航行，成功地登陆火星并释放了一个机器人在火星探察，“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的环绕周期相等，以下说法正确的是（　　）

• A． 天体A、B的密度一定相等
• B． 天体A、B的质量一定相等
• C． 两颗卫星的线速度一定相等
• D． 天体A、B表面上物体的重力加速度与天体的半径成正比

Answer 1

分析 卫星绕球形天体运动时，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律和万有引力定律得出天体的质量与卫星周期的关系式，再得出天体密度与周期的关系式，然后进行比较．

解答 解：A、根据$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，则天体的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，因为周期相等，则天体A、B的密度一定相等，故A正确．
B、根据$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，周期相等，但是半径不一定相等，则A、B的质量不一定相等，故B错误．
C、卫星的线速度v=$\frac{2πR}{T}$，周期相等，天体A、B的半径不一定相等，则线速度不一定相等，故C错误．
D、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，g=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，可知天体A、B表面的重力加速度与天体的半径成正比，故D正确．
故选：AD．

点评 本题是卫星绕行星运动的问题，要建立好物理模型，采用比例法求解．要熟练应用万有引力定律、圆周运动的规律结合处理这类问题．