题目内容
8．
如图所示，xOy平面内，x轴上方有-y方向的匀强电场，x轴下方有垂直xOy平面向外的匀强磁场，电场、磁场的范围都足够大，一质量m、电荷+q的粒子从y轴上坐标为（0，h）的P点沿+x方向射出，速度大小为v0，不计粒子的重力，粒子第一次过x轴时位置为Q点，速度方向与+x方向夹角为45°．（1）若过Q点后，粒子经磁场直接到达原点O，求电场强度E与磁感应强度B的比值$\frac{E}{B}$；
（2）若粒子在电磁场中运动时能经过x轴上Q点右侧的M点（未标出），求磁感应强度B应该满足的条件；
（3）若粒子在电磁场中运动时能经过x轴上xN=-3h的N点（未标出），求出粒子从P点出发到达N点可能经历的时间t．
分析 （1）粒子在电场中做类似平抛运动，根据分位移公式列式分析；粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，画出轨迹，得到轨道半径，根据牛顿第二定律列式；最后联立求解得到电场强度E与磁感应强度B的比值$\frac{E}{B}$；
（2）在第一问分析的基础上，将粒子重新回到电场的轨迹画出，得到再次到达x轴时向右移动的距离与轨迹圆半径R的关系，据此分析得到轨迹圆半径的范围，再根据洛仑兹力等于向心力列式分析得到磁感应强度的大小范围；
（3）当磁感应强度小于第（2）问中最小值时，粒子再次进入磁场的点的坐标不断的向左偏移；先结合几何关系列式，再表示出时间，联立求解，注意多解．
解答 解：（1）粒子的轨迹如图所示：
在电场中，根据分运动公式，有：
水平分位移x=v0t0，竖直分位移h=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t}_{0}^{2}$，
水平分速度vx=v0，竖直分速度${v}_{y}=\frac{qE}{m}•{t}_{0}$，合速度v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
速度偏转角正切值tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$，
联立解得：x=2h，v=$\sqrt{2}$v0；
由轨迹图和几何知识可知：
在磁场中圆周运动的半径R=$\sqrt{2}h=\frac{mv}{qB}$=$\frac{m•\sqrt{2}{v}_{0}}{qB}$（1）
在电场中做类平抛运动有：${v}_{y}={v}_{0}=\frac{qE}{m}•\frac{2h}{{v}_{0}}$（2）
由（1）和（2）式解得$\frac{E}{B}$=$\frac{{v}_{0}}{2}$
（2）粒子回到磁场后，做匀速圆周运动，对于直线边界，粒子射入时速度与边界的夹角等于射出时与边界的夹角，故射入速度与+x方向成45角，画出第一问中粒子返回电场后的运动轨迹，如图所示：
由于水平分运动是匀速直线运动，竖直分运动是类似竖直上抛运动，结合对称性可知水平分位移为4h，而在磁场中的向左的位移为$\sqrt{2}R$，只要满足4h$＞\sqrt{2}R$，
即R$＜2\sqrt{2}h$，粒子就会打在Q点的右侧；
粒子在磁场中做匀速圆周运动时，根据牛顿第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
其中v=$\sqrt{2}$v0，
解得：B＞$\frac{m{v}_{0}}{2qh}$；
（3）当磁感应强度等于$\frac{m{v}_{0}}{2qh}$时，轨迹如图所示：
当磁感应强度小于$\frac{m{v}_{0}}{2qh}$时，粒子在电磁场中周期性运动的轨迹不断的向左平移，一个周期内平移$△x=\sqrt{2}R-4h$，
①如果从磁场进入电场时通过xN=-3h的N点，则：
-3h=2h-$\sqrt{2}R$-k△x，k=0、1、2、…
解得：B=$\frac{2（k+1）m{v}_{0}}{（4k+5）qh}$，k=0、1、2、…；
总时间：t总=（k+1）•$\frac{3}{4}$T+（2k+1）t0，
其中T=$\frac{2πm}{qB}$，t0=$\frac{2h}{{v}_{0}}$，
解得：t总=$\frac{3π（4k+5）h}{{4{v_0}}}+\frac{2（2k+1）h}{v_0}$，k=0、1、2、…；
②如果从电场进入磁场时通过xN=-3h的N点，则：
-3h=2h-k△x，k=0、1、2、…
解得：B=$\frac{2km{v}_{0}}{（4k+5）qh}$，k=0、1、2、…；
总时间：t总=k•$\frac{3}{4}$T+（2k+1）t0，
其中T=$\frac{2πm}{qB}$，t0=$\frac{2h}{{v}_{0}}$，
解得：t总=$\frac{3π（4k+1）h}{{4{v_0}}}+\frac{2（2k+1）h}{v_0}$，k=0、1、2、…；
答：（1）若过Q点后，粒子经磁场直接到达原点O，电场强度E与磁感应强度B的比值$\frac{E}{B}$为$\frac{{v}_{0}}{2}$；
（2）若粒子在电磁场中运动时能经过x轴上Q点右侧的M点（未标出），磁感应强度B应该满足的条件为B＞$\frac{m{v}_{0}}{2qh}$；
（3）若粒子在电磁场中运动时能经过x轴上xN=-3h的N点（未标出），粒子从P点出发到达N点可能经历的时间t为$\frac{3π（4k+5）h}{{4{v_0}}}+\frac{2（2k+1）h}{v_0}$或$\frac{3π（4k+1）h}{{4{v_0}}}+\frac{2（2k+1）h}{v_0}$，k=0、1、2、…．
点评 本题关键是明确粒子在电磁场中的运动规律，要画出运动轨迹，根据牛顿第二定律和类平抛运动轨迹并结合几何关系分析，第2问和第3问是多解问题，要造成周期性，难度较大．
图甲中A、B两板间的电场的场强随时间变化的情况如图乙所示，在t=0时，A极板中心附近有一个带电荷量为q，质量为m的粒子，从静止开始被电场加速，经n个周期后粒子恰好从B板中心小孔射出，这时带电粒子速度多大？AB两板的间距为多大？（不计粒子重力）
| A． | 0 | B． | 6m | C． | 10m | D． | 12m |
| A． | 1先于2离开磁场 | |
| B． | 离开磁场时2和3的速度相等 | |
| C． | 在离开磁场的过程中，1和3产生的焦耳热一样多 | |
| D． | 在离开磁场的过程中，通过导线横截面的电量，1比4多 |
如图所示，足够长的平行光滑导轨固定在水平面上，导轨间距为L=1m，其右端连接有定值电阻R=2Ω，整个装置处于垂直导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度大小为B=1T．一质量m=2kg的金属棒在恒定的水平拉力F=10N的作用下，在导轨上由静止开始向左运动，运动中金属棒始终与导轨垂直．导轨及金属棒的电阻不计，下列说法正确的是（ ）| A． | 产生的感应电流方向在金属棒中由a指向b | |
| B． | 金属棒的最大加速度为5m/s2 | |
| C． | 水平拉力的最大功率为200W | |
| D． | 金属棒先向左做加速运动、后向左做减速运动直到静止 |
如图所示，匀强磁场中固定的金属框架ABC，导体棒DE在框架上沿图示方向匀速平移，框架和导体棒材料相同、同样粗细，接触良好．则下列判断正确的是（ ）| A． | 电路中感应电流保持一定 | B． | 电路中磁通量的变化率一定 | ||
| C． | 电路中感应电动势与时间成正比 | D． | 棒受到的外力一定 |
如图，M为半圆形导线框，圆心为OM；N是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为ON；两导线框在同一竖直面（纸面）内；两圆弧半径相等；过直线OMON的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面．现使线框M、N在t=0时从图示位置开始，分别绕垂直于纸面、且过OM和ON的轴，以相同的周期T逆时针匀速转动，则（ ）| A． | 两导线框中均会产生正弦交流电 | |
| B． | 两导线框中感应电流的周期都等于T | |
| C． | 在任意时刻，两导线框中产生的感应电动势都不相等 | |
| D． | 两导线框的电阻相等时，两导线框中感应电流的有效值也相等 |
如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ．一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行．小球A的质量为m、电量为q．小球A的右侧固定放置带等量异种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d．静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷．小球A静止在斜面上．求当斜面的支持力为0时，求：