Question

17．图甲中A、B两板间的电场的场强随时间变化的情况如图乙所示，在t=0时，A极板中心附近有一个带电荷量为q，质量为m的粒子，从静止开始被电场加速，经n个周期后粒子恰好从B板中心小孔射出，这时带电粒子速度多大？AB两板的间距为多大？（不计粒子重力）

Answer 1

分析 由图乙所示可知，在每个周期中的前半个周期粒子做匀加速直线运动，后半个周期做匀速直线运动，应用动量定理可以求出力的速度；
应用牛顿第二定律与运动学公式求出粒子的位移，然后确定极板间的距离．

解答 解：对粒子，由动量定理得：qE₀•n$\frac{T}{2}$=mv-0，
解得：v=$\frac{nq{E}_{0}T}{2m}$；
由牛顿第二定律可知，粒子加速度：a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$，
第1个周期内，速度：v₁=a•$\frac{T}{2}$=$\frac{q{E}_{0}T}{2m}$，位移：x₁=$\frac{{v}_{1}}{2}$$\frac{T}{2}$+v₁$\frac{T}{2}$=$\frac{3q{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$，
第2个周期内，速度：v₂=v₁+a•$\frac{T}{2}$=$\frac{q{E}_{0}T}{m}$，位移：x₂=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$$\frac{T}{2}$+v₂$\frac{T}{2}$=$\frac{7q{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$，
第3个周期内，速度：v₃=v₂+a•$\frac{T}{2}$=$\frac{3q{E}_{0}T}{2m}$，位移：x₃=$\frac{{v}_{2}+{v}_{3}}{2}$$\frac{T}{2}$+v₃$\frac{T}{2}$=$\frac{11q{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$，
…
第n个周期内，速度：v_n=$\frac{nq{E}_{0}T}{2m}$，位移：x_n=$\frac{[3+4（n-1）]q{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$，
粒子的总位移：x=x₁+x₂+x₃+…+x_n=$\frac{（2n+1）nq{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$，
AB两板的间距为：d=x=$\frac{（2n+1）nq{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$；
答：这时带电粒子速度为$\frac{nq{E}_{0}T}{2m}$；AB两板的间距为$\frac{（2n+1）nq{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$．

点评 本题考查了求粒子的速度、极板间的距离问题，分析清楚粒子运动过程是解题的前提与关键，应用牛顿第二定律与运动学公式可以解题；解题时注意数学归纳法的应用，注意等差数列求和公式的应用．