Question

15．如图所示，矩形盒B的质量为M=5m，底部长度为L，放在水平面上，盒内有一质量为m可视为质点的物体A，A与B、B与地面间的动摩擦因数均为μ，开始时二者均静止，A在B的左端．现瞬间使物体A获得一向右的水平初速度v₀，以后物体A与盒B的左右壁碰撞时，B始终向右运动，且每次碰撞时间均极短．当A与B的左壁最后一次碰撞后，B立刻停止运动，A继续向右滑行距离s（s＜L）后也停止运动，已知滑动摩擦力等于最大静摩擦力．
（1）A与B第一次碰撞前，A的速度v_A多大？
（2）若A与B碰撞是弹性正碰，求A第一次与B碰后矩形盒B的速度v_B大小．
（3）求盒B运动的总时间t（不计A与B的碰撞时间）．

Answer 1

分析 （1）对A应用动能定理可以求出碰撞前A的速度．
（2）A、B发生弹性碰撞，碰撞过程动量守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出碰撞后B的速度．
（3）当B停止运动时，A继续向右滑行s（s＜L）后停止，根据动能定理列式求出B停止时A的速度；对系统用动量定理可以求出B的运动时间．

解答 解：（1）A第一次与B碰前，B是保持静止状态，
对A，由动能定理得：-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v_A=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}$；
（2）A、B发生弹性碰撞，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，
以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv_A=mv₁+Mv_B，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv_B²，
解得：v_B=$\frac{2}{5}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}$，v₁=-$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}$；
（3）最后一次碰撞后的过程中，设B停止运动时A的速度为v，
对A由动能定理得：-μmgs=0-$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=$\sqrt{2μgs}$，
A、B组成的系统，它在水平方向所受的外力就是地面对盒B的滑动摩擦力，
设盒B运动的总时间为t，选向右为正方向，对系统，由动量定理得：
-μ（m+M）gt=mv-mv_A，解得：t=$\frac{\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}-\sqrt{2μgs}}{6μg}$；
答：（1）A与B第一次碰撞前，A的速度v_A大小为$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}$．
（2）A与B碰撞是弹性正碰，A第一次与B碰后矩形盒B的速度v_B大小为$\frac{2}{5}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}$．
（3）盒B运动的总时间t为$\frac{\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}-\sqrt{2μgs}}{6μg}$．

点评 本题考查动能定理和动量守恒定律、动量定理的综合应用，分析清楚物体运动过程是解题的前提与关键，应用动能定理、动量守恒定律与机械能守恒定律与动量定理可以解题．