Question

12．如图所示为某种弹射小球的游戏装置，水平面上固定一轻质弹簧及长度可调节的竖直细管AB．细管下端接有一小段长度不计的圆滑弯管，上端B与四分之一圆弧弯管BC相接，每次弹射前，推动小球将弹簧压缩到同一位置后锁定，解除锁定，小球即被弹簧弹出，水平射进细管A端，再沿管ABC从C端水平射出．已知弯管BC的半径R=0.40m，小球的质量为m=0.1kg，当调节竖直细管AB的长度L至L₀=0.80m时，发现小球恰好能过管口C端，不计小球运动过程中的机械能损失．求：
（1）弹簧锁定时具有的弹性势能（以弹簧处于原长时的弹性势能为零）；
（2）当L=0.40m时，小球落到水平面上的位置与竖直管AB的距离；
（3）保持L₀=0.8m不变，若将小球质量变为原来的一半，求小球到达C点时管壁对其作用力的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）求解小球在C点的机械能，然后由机械能守恒求得弹性势能；
（2）根据机械能守恒求得小球在C的速度，然后由平抛运动规律求得距离；
（3）根据弹性势能不变得到机械能不变，进而得到在C点的速度，然后由牛顿第二定律求解．

解答 解：（1）当调节竖直细管AB的长度L至L₀=0.80m时，发现小球恰好能过管口C端，那么小球在C点的速度为零；
小球运动过程机械能守恒，故小球的机械能为：
E=mg（L₀+R）=1.2J；
（2）设小球到达C点时的速度为v₁，由机械能守恒定律可得：
$E=mg（L+R）+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$解得：
${v}_{1}=2\sqrt{2}m/s$；
小球从C抛出后做平抛运动，故有：
$L+R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
小球落到水平面上的位置与竖直管AB的距离为：
$R+{v}_{1}t=R+{v}_{1}\sqrt{\frac{2（L+R）}{g}}=0.4+0.8\sqrt{2}（m）=1.53m$；
（3）弹簧压缩量不变，故系统机械能不变，那么，设小球到达C点时的速度为v₂，由机械能守恒可得：
${E}_{p}=\frac{1}{2}mg（{L}_{0}+R）+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$；
故小球在C点时的向心力为：${F}_{向}=\frac{\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}}{R}=\frac{2{E}_{p}-mg（{L}_{0}+R）}{R}=3N$，方向竖直向下；
小球在C点受重力（$G=\frac{1}{2}mg=0.5N$，方向竖直向下）和管壁对小球作用力；
故由力的合成与分解可知：管壁对小球作用力大小为2.5N，方向竖直向下；
答：（1）弹簧锁定时具有的弹性势能为1.2J；
（2）当L=0.40m时，小球落到水平面上的位置与竖直管AB的距离为1.53m；
（3）保持L₀=0.8m不变，若将小球质量变为原来的一半，小球到达C点时管壁对其作用力的大小为2.5N，方向竖直向下．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．