Question

7．如图所示，一质量为M=3.0kg的长木板静止在粗糙的水平地面上，平板车的上表面距离地面高h=0.8m，其右侧有一障碍物A，一质量为m=2.0kg可视为质点的滑块，以v₀=8m/s的初速度从左端滑上平板车，同时对长木板施加一水平向右的、大小为5N的恒力F．当滑块运动到长木板的最右端时，二者恰好相对静止，此时撤去恒力F．当长木板碰到障碍物A时立即停止运动，滑块水平飞离长木板后，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点飞入竖直粗糙的圆弧轨道BCD，且BD等高，并沿轨道下滑，滑块运动到圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小为52N．已知滑块与长木板间的动摩擦因数μ₁=0.3，长木板与地面间的动摩擦因数为μ₂=0.1，圆弧半径为R=1.0m，圆弧所对的圆心角∠BOD=θ=106°． 取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：

（1）平板车的长度L；
（2）开始长木板右端与障碍物A之间的距离S；
（3）滑块从B到C克服摩擦力做的功W_f．

Answer 1

分析 （1）对达到相同速度前的滑块和木板分别进行受力分析求得加速度，进而求得运动时间及共同速度，然后由匀变速位移公式求得距离；
（2）对滑块平抛运动到B的过程进行分析，根据在B处的速度方向求得初速度，进而求得一起运动的位移，从而得到距离；
（3）对滑块在C应用牛顿第二定律求得速度，然后应用动能定理即可．

解答 解：（1）滑块在长木板上受到的合外力为摩擦力，故滑块做匀减速运动，加速度${a}_{1}={μ}_{1}g=3m/{s}^{2}$；
长木板受到的合外力为F+μ₁mg-μ₂（M+m）g=6N，故长木板做匀加速运动，加速度${a}_{2}=2m/{s}^{2}$；
当滑块运动到长木板的最右端时，二者恰好相对静止，设滑块经过时间t滑到长木板的右端，且在右端时二者的共同速度为v₁，则有v₁=a₂t=v₀-a₁t，
所以，$t=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}=1.6s$，v₁=3.2m/s；
所以，$L=\frac{{v}_{1}+{v}_{0}}{2}t-\frac{{v}_{1}}{2}t=\frac{1}{2}{v}_{0}t=6.4m$；
（2）长木板与A相碰后，滑块做平抛运动，故有$h=\frac{1}{2}gt{′}^{2}$，所以，滑块在B处的竖直分速度${v}_{y}=\sqrt{2gh}=4m/s$，又有滑块无碰撞地沿圆弧切线从B点飞入竖直粗糙的圆弧轨道BCD，所以，滑块在A处的速度${v}_{A}=\frac{{v}_{y}}{tan53°}=3m/s$；
F撤去后，由于μ₂g＜μ₁g，滑块将和长木板一起匀减速运动；加速度大小为a=μ₂g=1m/s²；
设长木板再滑s₃与障碍物A相撞，则有${{v}_{1}}^{2}-{{v}_{A}}^{2}=2a{s}_{3}$，所以，${s}_{3}=\frac{{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{A}}^{2}}{2a}=0.62m$；
故开始长木板右端与障碍物A之间的距离$S=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}+{s}_{3}=2.56m+0.62m=3.18m$；
（3）滑块在B处的速度${v}_{B}=\frac{{v}_{y}}{sin53°}=5m/s$；
滑块运动到圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小为52N，由牛顿第三定律可得：滑块受到的支持力为52N，
那么由牛顿第二定律可得：$52N-mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$，所以，v_C=4m/s；
对滑块从B到C的运动应用动能定理可得：$mgR（1-cos53°）-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
所以，W_f=17J；
答：（1）平板车的长度L为6.4m；
（2）开始长木板右端与障碍物A之间的距离S为3.18m；
（3）滑块从B到C克服摩擦力做的功W_f为17J．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．