题目内容
4．简谐运动是一种理想化的运动模型，是机械振动中最简单、最基本的振动．它具有如下特点：1）简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力的大小与物体偏离平衡位置的位移大小成正比、方向与位移方向相反，即：F回=-kx，其中k为振动系数，其值由振动系统决定．
2）简谐运动是一种周期性运动，其周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的振动系数的平方根成反比，而与振幅无关，即：T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$．
（1）如图1所示，一光滑的水平杆，在杆上穿有两轻质弹簧，劲度系数分别为k1、k2，弹簧两端固定于竖直墙上，中间系一质量为m的金属小球，此时两弹簧均处于原长，O为平衡位置．现将小球沿杆拉开一段距离后松开，小球以O为平衡位置做简谐运动．
a．写出小球偏离平衡位置的位移大小为x时合外力F合的表达式；
b．写出小球做简谐运动的周期T．
（2）一定质量的理想气体，在温度保持不变的条件下，其压强与体积的乘积保持不变，即：PV=P'V'（玻意尔-马略特定律）．如图2所示，一密闭长方体容器，导热性能良好，中间有一质量为m的活塞，将容器分隔成体积相等的两部分，且两部分气体完全相同，整个容器的温度保持不变．已知气体的压强为P0，活塞到两端的距离均为L，活塞的横截面积为S，取向右为正方向．
a．现将活塞缓慢向右移到M位置，由静止释放，试求出活塞的位移为x时两边气体的压强P1和P2比值；
b．证明：在振幅A远小于L的条件下，活塞的运动可以看作简谐运动．
分析 （1）a、根据胡克定律即可写出出小球偏离平衡位置的位移大小为x时合外力F合的表达式；
b．根据小球做简谐运动的周期即可写出．
（2）a、由玻意尔定律分别写出两部分气体的压强的表达式，然后即可求出；
b、求出活塞的受力与位移之间的关系公式，然后即可做出判断．
解答 解：（1）a．由胡克定律可得，小球受到的合外力：F合=-（k1+k2）x
b．弹簧中子振动的周期公式与弹簧的劲度系数有关，公式为：T=$2π\sqrt{\frac{m}{{k}_{1}+{k}_{2}}}$
（2）a．对左边气体，由玻意尔定律得：P0LS=P1（L+x）S
所以：P1=$\frac{L}{L+x}•{P}_{0}$
同理对右边气体，由玻-马定律得：P0LS=P2（L-x）S
所以：P2=$\frac{L}{L-x}•{P}_{0}$
所以：$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{L-x}{L+x}$
b．活塞在运动到距离平衡位置的位移为x时，活塞受到的合力等于两部分气体压力的差，即：
F合=P1S-P2S
联立得：F合=$\frac{{P}_{0}SL}{L+x}$-$\frac{{P}_{0}SL}{L-x}$=$-\frac{2{P}_{0}SLx}{{L}^{2}-{x}^{2}}$
因为x远小于L，所以：F合=$-\frac{2{P}_{0}SLx}{{L}^{2}-{x}^{2}}$≈$-\frac{2{P}_{0}S}{L}•x$=-kx
其中k=$-\frac{2{P}_{0}S}{L}$为一定值，所以在A远小于L的条件下，活塞的运动可视为简谐运动．
答：（1）a．小球偏离平衡位置的位移大小为x时合外力F合的表达式为F合=-（k1+k2）x；
b．小球做简谐运动的周期为$2π\sqrt{\frac{m}{{k}_{1}+{k}_{2}}}$．
（2）活塞的位移为x时两边气体的压强P1和P2比值为$\frac{L-x}{L+x}$；
b．证明见上．
点评 该题结合玻意尔定律考查简谐振动的受力特点，解答的关键是正确理解活塞受到的合力等于两部分气体压力的差．
如图所示，物块以100J的初动能从斜面底端向上滑行，第一次经过P点时，它的动能比最初减小了60J，重力势能比最初增加了45J，那么，物体滑到最高处时的势能等于75J，返回底端时的末动能等于50J（斜面底端所在平面为零势能面）| A． | 加速度a=$\frac{F}{m}$ | B． | 功率P=$\frac{W}{t}$ | C． | 电场强度E=$\frac{F}{q}$ | D． | 电势ϕ=$\frac{{E}_{P}}{q}$ |
| A． | 在下落相等的高度内，速度的改变量相等 | |
| B． | 在下落相等的高度内，动能的改变量相等 | |
| C． | 在相等的时间间隔内，动能的改变量相等 | |
| D． | 在相等的时间间隔内，速度的改变量相等 |
如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道I，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则（ ）| A． | 该卫星的发射速度必定小于11.2 km/s | |
| B． | 卫星在轨道上运行不受重力 | |
| C． | 在轨道I上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度 | |
| D． | 卫星在Q点通过加速实现由轨道I进入轨道Ⅱ |
甲、乙两物体相互靠着放在光滑水平桌面上．分别受到水平推力F1和F2作用，如图所示，两物体都保持静止．设甲对乙的压力为F3，乙对甲的压力为F4，则（ ）| A． | F1和F4是一对作用力和反作用力 | B． | F1和F2是一对作用力和反作用力 | ||
| C． | F2和F3是一对作用力和反作用力 | D． | F3和F4是一对作用力和反作用力 |
| A． | 力传感器 | B． | 光传感器 | C． | 位移传感器 | D． | 温度传感器 |
如图所示，倾角θ=37°的斜面底端B平滑连接着半径r=0.60m的竖起光滑圆轨道．质量m=0.50kg的物块，从距地面h=2.7m处沿斜面由静止开始下滑，物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.25．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，取g=10m/s2）求：