Question

14．已知火星的第一宇宙速度为v，火星半径为R，其自转周期为T，万有引力常量为G．
（1）求火星的质量M；
（2）若要发射火星的同步卫星，求它距火星表面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合火星的半径和第一宇宙速度，求出火星的质量．
（2）根据万有引力提供向心力，抓住同步卫星的周期等于自转周期，求出同步卫星距离火星表面的高度．

解答 解：（1）第一宇宙速度即该行星近地卫星的环绕速度，其向心力由万有引力提供，
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：M=$\frac{R{v}^{2}}{G}$．
（2）火星自转周期即火星同步卫星的运行周期，
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，
h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$，
代入M，解得：h=$\root{3}{\frac{R{v}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
答：（1）火星的质量为$\frac{R{v}^{2}}{G}$；
（2）它距火星表面的高度h为$\root{3}{\frac{R{v}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

点评 解决问题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道同步卫星的周期和自转周期相等，难度不大．