Question

8．中国著名物理学家、中国科学院院士何泽慧教授曾在1945年首次通过实验观察到正、负电子的弹性碰撞过程．有人设想利用电场、磁场控制正、负电子在云室中运动来再现这一过程．实验设计原理如下：在如图所示的xOy平面内，A、C二小孔距原点的距离均为L，每隔一定的时间源源不断地分别从A孔射入正电子，C孔射入负电子，初速度均为v₀，且垂直x轴，正、负电子的质量均为m，电荷量均为e（忽略电子之间的相互作用）．在y轴的左侧区域加一水平向右的匀强电场，在y轴的右侧区域加一垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），要使正、负电子在y轴上的P（0，L）处相碰．求：
（1）电场强度E的大小；磁感应强度B的大小及方向；
（2）P点相碰的正、负电子的动能之比和射入小孔的时间差△t；
（3）若某一从A点射入的正电子到达P点没能与负电子相碰，则在以后的运动中能否在第一象限内与C点射入的电子相碰？请简单说明理由．

Answer 1

分析 （1）正电子进入电场后做类平抛运动，由牛顿第二定律和位移时间公式结合，即可求解电场强度E的大小．负电子进入磁场后做匀速圆周运动，由题可知轨迹半径等于L，由牛顿第二定律和向心力公式结合求解B的大小，由左手定则判断B的方向．
（2）正电子在电场中运动时，电场力对其做正功，由动能定理求出相碰前正电子的动能，由其竖直方向做匀速直线运动的规律，求解其运动时间，而负电子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，动能不变，根据时间为$\frac{1}{4}$周期，从而可求出时间差．
（3）根据正电子在y轴右侧做圆周运动的轨迹半径与负电子的轨迹半径比较，可作出判断．

解答 解：（1）对A处进入的正电子，由类平抛运动规律得：
L=v₀t_A
L=$\frac{1}{2}$at_A²=$\frac{Ee}{2m}$t_A²．
得：E=$\frac{2{mv}_{0}^{2}}{eL}$．
对C处进入的负电子，由牛顿第二定律得：
ev₀B=$\frac{{mv}_{0}^{2}}{L}$
可得 B=$\frac{m{v}_{0}}{eL}$
负电子在C点所受的洛伦兹力向左，由左手定则判断可知磁场B的方向垂直纸面向外． 
（2）对A处进入的正电子，由动能定理得：
EeL=E_kA-$\frac{{mv}_{0}^{2}}{2}$
所以 E_kA=$\frac{5{mv}_{0}^{2}}{\;}2$
而 E_kB=$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
故 $\frac{{E}_{kA}}{{E}_{kB}}=\frac{5}{1}$
从C进入的负电子运动的时间为：t_B=$\frac{90°}{360°}×\frac{2πL}{{v}_{0}}$=$\frac{πL}{2{v}_{0}}$，
正电子在电场中运动的时间为：t_A=$\frac{L}{{v}_{0}}$
则△t=t_B-t_A=$\frac{πL}{2{v}_{0}}$-$\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{（π-2）L}{2{v}_{0}}$
（3）不能相碰．原因是：带电粒子在磁场中匀速圆周运动的轨迹半径与速度成正比，则知从A经过P点的正电子在y轴右侧做圆周运动的轨迹半径大于L不能与C点射入的电子轨迹相交．
答：（1）电场强度E的大小是$\frac{2{mv}_{0}^{2}}{eL}$，磁感应强度B的大小是$\frac{m{v}_{0}}{eL}$，方向垂直纸面向外；
（2）P点相碰的正、负电子的动能之比是5：1，射入小孔的时间差△t是$\frac{（π-2）L}{2{v}_{0}}$；
（3）在以后的运动中不能在第一象限内与C点射入的电子不能相碰．原因是：带电粒子在磁场中匀速圆周运动的轨迹半径与速度成正比，则知从A经过P点的正电子在y轴右侧做圆周运动的轨迹半径大于L不能与C点射入的电子轨迹相交．

点评 解决本题的关键是抓住电场中偏转与磁场中偏转研究方法的不同，运用动力学方法处理．