Question

16．如图所示，为一半径为R的透明半球体过球心O的横截面，面上P点到直径MN间的垂直距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，一细光束沿PO方向从P点入射，经过面MON恰好发生全反射，若此光束沿MN方向从P点入射，从Q点射出，光在真空中的传播速度为c，求：
（1）透明半球体的折射率n；
（2）沿MN方向从P点入射的光在透明物中的传播时间t．

Answer 1

分析 （1）光线沿PO方向从P点入射，经过面MON恰好发生全反射，说明在MON面的入射角等于临界角C，由几何关系求出临界角C，由sinC=$\frac{1}{n}$求出折射率n．
（2）由几何关系求出光线在P点的入射角，由折射定律求折射角，由几何关系求出光线在透明物中传播的距离，由v=$\frac{c}{n}$求出光线在透明物中传播的速度，从而求得传播时间t．

解答 解：（1）设透明半球体的临界角为C，则由几何关系有
  sin（90°-C）=$\frac{d}{R}$
又 sinC=$\frac{1}{n}$
据题有 d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R
联立解得 C=45°，n=$\sqrt{2}$
（2）若此光束沿MN方向从P点入射，光路如图所示，则
光在P点的入射角 i=90°-C=45°
设对应的折射角为r，则有
  $\frac{sini}{sinr}$=n
光在透明半球体中的传播距离 L=2Rcosr
光在透明半球体中的传播速度  v=$\frac{c}{n}$
则光在透明半球体中的时间 t=$\frac{L}{v}$
联立解得 t=$\frac{\sqrt{6}R}{c}$
答：（1）透明半球体的折射率n是$\sqrt{2}$；
（2）沿MN方向从P点入射的光在透明物中的传播时间t是$\frac{\sqrt{6}R}{c}$．

点评 本题是折射定律的应用，关键是掌握全反射的条件和临界角，要画出光路图，运用几何知识求解入射角与折射角，即可求解．