Question

10．如图所示，粗糙斜面的倾角θ=37°，边长L₁=0.5m的正方形区域内存在着垂直于斜面向下的匀强磁场．一个匝数n=10匝的刚性正方形线框，边长为L₂=0.6m，通过松弛的柔软导线（对线框的作用力近似为零）与电阻R相连，R=1.25Ω．正方形磁场区域的一半恰好在正方形线框内部，已知线框质量m=2kg，总电阻R₀=1.25Ω，与斜面间的动摩擦因数μ=0.5．从t=0时起，磁场的磁感应强度按B=B₀-2t（T）的规律变化，线框能保持一段时间静止在斜面上．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）线框不动时，回路中的感应电动势E；
（2）B₀的取值范围；
（3）线框保持不动的时间内，电阻R上产生的热量Q的最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律计算回路中感应电动势的大小；
（2）计算出回路中的电流强度，以线框为研究对象，当摩擦力方向向下时，磁感应强度最大、如果开始摩擦力方向向上，则B₀最小，根据共点力平衡条件求解B₀的取值范围；
（3）分析B的最大值和最小值，求出最长的作用时间，根据焦耳定律求解电阻R上产生的热量Q的最大值．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律可得：
$E=n\frac{△∅}{△t}=n•\frac{△B}{△t}•\frac{1}{2}{L}_{1}^{2}=10×2×\frac{1}{2}×0．{5}^{2}V=2.5V$，
所以回路中感应电动势的大小为2.5V；
（2）回路中的电流强度为：I=$\frac{E}{R+{R}_{0}}=\frac{2.5}{1.25+1.25}A=1A$，
根据楞次定律可得，磁感应强度减小，俯视电流方向为顺时针，根据左手定则可得安培力方向向上；
以线框为研究对象，当摩擦力方向向下时，根据共点力的平衡条件可得：nB₀IL₁=mgsinθ+μmgcosθ，
代入数据解得：B₀=4T；
如果开始摩擦力方向向上，则B₀最小，根据共点力平衡条件可得：nB₀IL₁=mgsinθ-μmgcosθ，
代入数据解得：B₀=0.8T；
所以B₀的取值范围为0.8T＜B₀≤4T；
（3）当B₀=4T，磁感应强度从4T减小到0.8T的过程中经过的时间为t，则：0.8=4-2t，
解得：t=1.6s，
此过程中线框一直保持静止状态，根据焦耳定律可得：Q=I²Rt=1²×1.25×1.6J=2J．
答：（1）线框不动时，回路中的感应电动势为2.5V；
（2）B₀的取值范围为0.8T＜B₀≤4T；
（3）线框保持不动的时间内，电阻R上产生的热量Q的最大值是2J．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力；另一条是能量，分析能量如何转化是关键；注意：本题中计算安培力时，应该用磁场中的有效长度，不能代入线圈的宽度计算！