Question

19．如图甲所示，足够长的光滑导轨倾角为30°，间距L=1m，电阻不计，恒定的非匀强磁场方向垂直于斜面向下，电阻R=1Ω，导体棒ab质量m=0.25kg，其电阻r=1Ω，垂直于导轨放置．现导体棒ab从磁场上边界由静止下滑，测得导体棒所到达位置的磁感应强度B与导体棒在该位置速度之间的关系如图乙所示．（g取l0m/s²）
（1）求导体棒下滑2s时的速度和位移；
（2）求导体棒下滑2s内回路中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 由于导体在恒定的非匀强磁场中切割磁感线，所以产生的电动势是变化的．由图乙可以看出：B²与$\frac{1}{v}$成正比，也就是B²×$\frac{1}{v}$  是一个定值．而切割磁感线产生感应电动势的E=BLv，这是一个瞬时值公式，由于感应电流受到的安培力，F=BIL，根据欧姆定律$I=\frac{E}{R+r}$，联立几式得：安培力$F=B•I•L=B•\frac{BLv}{R+r}•L=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，在这个式子中恰好有一个B²v 的因子是恒定的，而其他量L、R、r均为已知，则安培力为一个恒定的值．那么据牛顿第二定律导体棒做匀加速直线运动，这是此题的关键点．
（1）据牛顿第二定律求出加速度，再由运动学公式求出速度和位移．
（2）由能量守恒：减小的机械能等于增加的焦耳热．

解答 解：（1）由图象乙可知：棒下滑的任意状态有
     B²v=0.5T²•m•s^{-1 ①}
对棒下滑过程中某一状态由牛顿第二定律得：
      $mgsin30°-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}=ma$    ②
以上两式代入数据可得物体物体的加速度     
             a=4m/s²
可见导体棒在斜面上做匀加速直线运动．t=2s时，棒的速度：
            v=at=8m/s  
棒的位移：$s=\frac{1}{2}a{t}^{2}=8m$       ③
（2）由能量守恒定律得：
       $mg•s•sin30°=\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$    ④
代入数据得：Q=2J
答：（1）导体棒下滑2s时的速度为8m/s，位移为8m．
（2）导体棒下滑2s内回路中产生的焦耳热为2J．

点评 本题的关键点在于从给出的图象中找到导体棒的运动规律，题设的${B}^{2}--\frac{1}{v}$图象，即磁感应强度随速度增大而减小，这只是定性关系，只有从切割磁感线产生电动势的公式、欧姆定律、安培力公式三者联立才能找到定量关系-即安培力不变，从而判断出导体棒做匀加速直线运动．