Question

1．如图所示，间距为l、电阻不计的光滑平行金属导轨倾斜放置，顶端QQ′之间连接一个阻值为R的电阻和开关S，底端PP′处有一小段水平轨道相连，在PP′和QQ′之间有垂直导轨平面的匀强磁场．断开开关S，将一质量为m、电阻不计的金属棒从导轨上的AA′处静止开始滑下，落在水平面上的FF′处；闭合开关S，将金属棒仍从AA′处静止开始滑下，落在水平面上的EE′处．已知PP′距水平面的高度为h，AA′到PP′的距离为s，FF′、EE′与PP′的水平距离分别为x₁、x₂，忽略空气阻力和金属棒经过PP′处的能量损失，重力加速度为g．
（1）求S断开时，金属棒在PP′处的速度大小；
（2）求S闭合时，金属棒在导轨上运动过程中电阻R上产生的焦耳热；
（3）在S闭合的前提下，将金属棒从导轨上比AA′更高的位置由静止开始滑下，试问金属棒在水平面上的落点能否仍为EE′？简述理由．

Answer 1

分析 （1）金属棒离开底端PP′后，做平抛运动，已知水平距离和高度，根据平抛运动的知识，可以求出棒开底端PP′的速度大小；
（2）开关闭合后，金属棒下滑时，需要克服安培力做功产生焦耳热，根据能量守恒定律求解；
（3）根据平抛的水平距离相等，说明金属棒离开PP′时的速度相等，金属棒在倾斜导轨上应先做加速度减小的加速运动，然后匀速运动．

解答 解：（1）开关断开时，金属棒离开底端PP′的速度大小为v₁，在空中运动的时间为t，则：
在水平方向上：x₁=v₁t
在竖直方向上有：h=$\frac{1}{2}$gt²
解得：v₁=x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）开关断开时，在金属棒沿倾斜导轨下滑的过程中，
由动能定理得：W_G=$\frac{1}{2}$mv₁²
开关闭合时，金属棒离开底端PP′的速度：v₂=x₂$\sqrt{\frac{g}{2h}}$，
由能量守恒定律得：W_G=$\frac{1}{2}$mv₂²+Q，
解得，电阻R产生的焦耳热为：Q=$\frac{mg}{4h}$（x₁²-x₂²）．
（3）开关S仍闭合，金属棒从比AA′更高处静止开始滑下，
金属棒先做加速运动，当安培力与重力沿斜面的分力大小相等后做匀速直线运动，
金属棒离开PP′时的速度与从AA′处开始下滑时的速度相等，
金属棒离开轨道后做平抛运动的位移相等，落点能仍为EE′．
答：（1）S断开时，金属棒在PP′处的速度大小为x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）S闭合时，金属棒在导轨上运动过程中电阻R上产生的焦耳热为$\frac{mg}{4h}$（x₁²-x₂²）；
（3）在S闭合的前提下，将金属棒从导轨上比AA′更高的位置由静止开始滑下，金属棒在水平面上的落点能仍为EE′，当两次金属棒在导轨上均做先加速后匀速运动即可．

点评 本题首先要掌握平抛运动的研究方法，其次能运用能量守恒定律求解热量，都是常用的思路，平时要多加强这方面的练习，熟练掌握．