Question

11．在地面上方某一点分别以v₁和v₂的初速度先后竖直向上抛出两个小球（可视为质点），第二个小球抛出后经过△t时间与第一个小球相遇，要求相遇地点在抛出点或抛出点以上，改变两球抛出的时间间隔，便可以改变△t值，试求
（1）若v₁＞v₂，△t的最大值
（2）若v₁＜v₂，△t的最大值．

Answer 1

分析 （1）若v₁＞v₂，当第二个小球刚好落回抛出点时，△t的值最大，由运动学速度可求出．
（2）若v₁＜v₂，当两球在第一个到达最高点时相遇时，△t的值最大．由位移公式求解．

解答 解：（1）若${v}_{1}^{\;}＞{v}_{2}^{\;}$，△t取最大值时，应该在抛出点处相遇
${h}_{2}^{\;}={v}_{2}^{\;}△t-\frac{1}{2}g（△t）_{\;}^{2}，{h}_{2}^{\;}=0$，则△t最大值$△t=\frac{2{v}_{2}^{\;}}{g}$
（2）若${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$，△t取最大值时，应该在第一个小球的上抛最高点相遇
${h}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$，${h}_{1}^{\;}={h}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}={v}_{2}^{\;}△t-\frac{1}{2}g（△t）_{\;}^{2}$
解得$△t=\frac{{v}_{2}^{\;}}{g}±\frac{\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}}{g}$，分析可知$△t＜\frac{{v}_{2}^{\;}}{g}$，所以舍去$△t=\frac{{v}_{2}^{\;}}{g}+\frac{\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}}{g}$
最大值$△t=\frac{{v}_{2}^{\;}}{g}-\frac{\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}}{g}$
答：（1）若v₁＞v₂，△t的最大值为$\frac{2{v}_{2}^{\;}}{g}$
（2）若v₁＜v₂，△t的最大值$\frac{{v}_{2}^{\;}}{g}-\frac{\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}}{g}$

点评 本题的解题是判断并确定出△t取得最大的条件，也可以运用函数法求极值分析．