Question

1．如图所示，有两个完全相同的半径为R的光滑$\frac{1}{4}$圆弧槽，在末端焊接成新的曲线槽ABC，并且固定在竖直面内，使得两个$\frac{1}{4}$圆弧槽所在的圆心O₁、O₂连线恰好过焊接点B，并垂直于水平地面O₂C（且过B处的切线BE恰好为水平线），已知焊接处B也是光滑的，现有两个大小相等，质量均为m的非弹性小球，其中2静止在B点，让球1从曲线槽上端点A由静止开始自由下落，到B处与球2正碰后粘合一起沿槽下滑（已知重力加速度为g）
（1）球在离水平地面O₂C高度h为多大时离开轨道；
（2）球滑离轨道时速度v的大小是多少？

Answer 1

分析 对小球1由机械能守恒定律可求得碰前的速度，再由动量守恒定律求得碰后的速度；再对碰后到离开轨道过程进行分析，由机械能守恒定律及向心力公式可求得离开高度及速度．

解答 解：球1从A端滑到B处与2相碰之间，设速度为v，由机械能守恒定律可知：
mgR=$\frac{1}{2}$mv²
在B处2球相碰，碰后粘在一起，设向右为正方向，碰后速度为v′；
由动量守恒定律可得：
mv=2mv′
设小球在D处滑离轨道，脱离前的速度为v1，令∠BO₂D=θ，由几何关系得脱离地面高度为h=Rcosθ；
由牛顿第二定律有：
2mgcosθ=2m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
从B滑到D处时，两球机械能守恒，则有：
2mgR（1-cosθ）+$\frac{1}{2}$•2mv′²=$\frac{1}{2}•2m$v₁²
联立解得：h=$\frac{5R}{6}$；v₁=$\sqrt{\frac{5gR}{6}}$
答：（1）球在离水平地面O₂C高度h为$\frac{5R}{6}$时离开轨道；
（2）球滑离轨道时速度v的大小是$\sqrt{\frac{5gR}{6}}$

点评 本题考查动量守恒、机械能守恒及向心力公式的应用，要注意正确分析物理过程，明确各过程中所对应的物理规律的应用．