Question

10．两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L．导轨上横放这两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒ab和棒cd之间的距离为d，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v₀，若两导体棒在运动中始终不接触，求：
（1）棒ab有指向棒cd的初速度v₀时回路中的电流．
（2）当ab棒的速度变为初速度v₀的$\frac{3}{5}$时，cd棒的加速度大小．
（3）稳定棒ab和棒cd之间的距离．

Answer 1

分析 （1）本题中两根导体棒的运动情况：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流，由法拉第电磁感应定律，求出棒ab产生的电动势，再求出回路产生的电流大小；
（2）两棒组成的系统动量守恒，由动量守恒定律可以求出棒的速度；此时电路中的总感应电动势为二者的差，然后结合闭合电路的欧姆定律与牛顿第二定律即可求出加速度；
（3）稳定时二者的速度相等，由动量守恒定律即可求出共同 的速度，然后对cd棒应用动量定理，结合通过棒的电量的表达式：q=$\frac{△Φ}{R}$即可求出．

解答 解：（1）由法拉第电磁感应定律，棒PQ产生的电动势为：E=BLv₀
则回路产生的电流大小为：I=$\frac{E}{2R}=\frac{BL{v}_{0}}{2R}$
（2）棒ab和cd在运动过程中始终受到等大反向的安培力，系统的动量守恒，设ab棒的速度为$\frac{3}{5}{v}_{0}$时cd棒的速度是v₁，以向右的方向为正方向，得：
mv₀=m$\frac{3}{5}{v}_{0}$+mv₁ 
解得${v}_{1}=\frac{2}{5}{v}_{0}$
此时回路中的总电动势：E′=（$\frac{3}{5}{v}_{0}-\frac{2}{5}$v₀）BL=$\frac{BL{v}_{0}}{5}$
回路中的电流：I′=$\frac{E′}{2R}$
cd棒受到的安培力：F=BI′L
所以cd棒上的加速度：$a=\frac{F}{m}$
联立得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{10mR}$
（3）稳定时二者速度相等，由动量守恒定律得：mv₀=2mv₂
设整个的过程中通过回路的电荷量为q，对cd棒由动量定理得：
$m{v}_{2}-0=B\overline{I}L•t=BLq$
所以：q=$\frac{m{v}_{0}}{2BL}$
设稳定后二者之间的距离是d′，则：q=$\frac{△Φ}{2R}=\frac{BL（d-d′）}{2R}$
联立以上两式得：$d′=d-\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）棒ab有指向棒cd的初速度v₀时回路中的电流是$\frac{BL{v}_{0}}{2R}$．
（2）当ab棒的速度变为初速度v₀的$\frac{3}{5}$时，cd棒的加速度大小是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{10mR}$．
（3）稳定棒ab和棒cd之间的距离是$d-\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 该题考查电磁感应中的动量守恒定律，几乎是最难的题目，应用到E=BLv、欧姆定律、动量守恒定律等知识点的内容，在解答的过程中一定要注意对运动过程的把握，注意动量守恒的条件与动量定理应用的方式．