Question

12．倾斜传送带与水平方向的夹角θ=30°，传送带以恒定的速度v=10m/s沿如图所示方向运动．现将一质量m=50kg的物块轻轻放在A处，传送带AB长为30m，物块与传送带间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且认为物块与传达带之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．g取10m/s²．则在物块从A至B的过程中；
（1）开始阶段所受的摩擦力为多大？
（2）共经历多长时间？
（3）在图乙中准确作出物块所受摩擦力随位移变化的函数图象；
（4）摩擦力做的总功是多少？

Answer 1

分析 （1）对物块进行受力分析，根据滑动摩擦力公式求解．
（2）根据牛顿第二定律求出物块匀加速运动时的加速度，由速度公式求出匀加速运动的时间，由位移公式求得匀加速的位移．再分析物体与传送带共速时重力沿斜面向下的分力与最大静摩擦力的关系，判断出物体做匀速运动，再位移公式求匀速运动的时间，从而求得总时间．
（3）结合上面的分析，作出图象．
（4）根据功的计算公式求摩擦力做的总功．

解答 解：（1）开始阶段所受的是滑动摩擦力，大小为：
f=μmgcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×50×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$N=375N
（2）物块开始阶段做匀加速运动，根据牛顿第二定律得：
μmgcosθ-mgsinθ=ma
代入数据解得：a=2.5m/s²
当物块的速度增大至 v=10m/s时所用时间为：
t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{10}{2.5}$=4 s
匀加速运动的位移为：x₁=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{1{0}^{2}}{2×2.5}$=20m＜L=30m
由于mgsinθ＜μmgcosθ，所以此后物块随传送带匀速运动，所用时间为：
t₂=$\frac{L-{x}_{1}}{v}$=$\frac{30-20}{10}$=1s
则总时间为：t=t₁+t₂=4s+1s=5s
（3）作出物块所受摩擦力随位移变化的函数图象如图所示．
（4）物块匀速运动时所受的摩擦力大小为：
f′=mgsinθ=50×10×0.5N=250N
则摩擦力做的总功为：
W=f•x₁+f′（L-x₁）
代入数据解得：W=10⁴J
答：（1）开始阶段所受的摩擦力为375N．
（2）共经历5s．
（3）如图所示；
（4）摩擦力做的总功是10⁴J．

点评 此题物块运动的情境比较复杂，关键是按照运动的过程逐步分析求解，边计算边分析，要注意物体与传送带速度相等瞬间，要根据重力的分力与最大静摩擦力判断物体之后的运动情况，知道加速度是联系力和运动的桥梁．