题目内容
12．
如图所示，有一个光滑的圆锥体固定在水平面上，在其顶点系一根长为L的细线，另一端拴一小物体A，使它刚好能贴着圆锥面做匀速圆周运动（即圆锥体对A无作用力），当运动到图中位置时，从圆锥的顶点O自由释放另一小物体B，使它沿着跟OC对称的另一条母线OD下滑．若圆锥体母线与轴线（OP）间夹角为θ，（设细线不干扰物体B的运动）求：（1）物体A运动的角速度大小
（2）物体B沿母线下滑L距离所需时间
（3）要使物体A能够与物体B相碰，圆锥体母线与轴线（OP）间夹角θ应为多大？（可用三角函数表示）
分析 （1）对物体受力分析，根据径向的合力提供向心力，通过牛顿第二定律求出物体A运动的角速度大小．
（2）根据牛顿第二定律求出物体B的加速度，根据位移时间公式求出物体B的运动时间．
（3）要使物体A能够与物体B相碰，B的运动时间等于半个A的周期的奇数倍．
解答 解：（1）球A刚好能贴着圆锥面匀速圆周运动，则球A受力如图所示，
则mgtanθ=mLsinθω2，
解得$ω=\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$．
（2）物体B沿母线向下做匀加速直线运动，加速度a=gcosθ
则$\frac{1}{2}gcosθ{t}^{2}=L$
解得t=$\sqrt{\frac{2L}{gcosθ}}$．
（3）要使二者相碰，则需满足t=$（n+\frac{1}{2}）\frac{2π}{ω}$，（n=0、1、2、3…）
即$\sqrt{\frac{2L}{gcosθ}}=（n+\frac{1}{2}）\frac{2π}{ω}$，
解得cosθ=$\frac{L{ω}^{2}}{2{π}^{2}g（n+\frac{1}{2}）^{2}}$．（n=0、1、2、3…）
答：（1）物体A运动的角速度大小为$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$．
（2）物体B沿母线下滑L距离所需时间为$\sqrt{\frac{2L}{gcosθ}}$．
（3）要使物体A能够与物体B相碰，圆锥体母线与轴线（OP）间夹角θ的余弦为$\frac{L{ω}^{2}}{2{π}^{2}g（n+\frac{1}{2}）^{2}}$．（n=0、1、2、3…）．
点评 解决本题的关键知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，注意圆周运动的周期性．
练习册系列答案
相关题目
2．
如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游玩，甲和他的冰车总质量为30kg，乙和他的冰车总质量为30kg，游戏时甲推着一质量为10kg的木箱，和他一起以v0=3.5m/s的速度滑行，乙在甲的正前方相对地面静止，为避免碰撞，则甲至少以相对地面多大的速度将箱子推出才能避免与乙相撞？（ ）
如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游玩，甲和他的冰车总质量为30kg，乙和他的冰车总质量为30kg，游戏时甲推着一质量为10kg的木箱，和他一起以v0=3.5m/s的速度滑行，乙在甲的正前方相对地面静止，为避免碰撞，则甲至少以相对地面多大的速度将箱子推出才能避免与乙相撞？（ ）| A． | 8m/s | B． | 3 m/s | C． | 6 m/s | D． | 10 m/s |
3．
三颗人造卫星A、B、C在地球的大气层外沿如图所示的方向做匀速圆周运动，mA=mB＜mC，则三颗卫星（ ）
三颗人造卫星A、B、C在地球的大气层外沿如图所示的方向做匀速圆周运动，mA=mB＜mC，则三颗卫星（ ）| A． | 线速度大小：vA＞vB=vC | |
| B． | 周期：TA＞TB=TC | |
| C． | 向心力大小：FA=FB＜FC | |
| D． | 轨道半径和周期的关系：$\frac{{{R}_{A}}^{3}}{{{T}_{A}}^{2}}$=$\frac{{{R}_{B}}^{3}}{{{T}_{B}}^{2}}$=$\frac{{{R}_{C}}^{3}}{{{T}_{C}}^{2}}$ |
如图所示，金属框架aOb的夹角为α，水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B．金属棒MN始终与框架接触良好，且与框架Ob边垂直．在t=0时金属棒自O点开始以速度v向右运动，则在t时刻闭合电路内感应电动势的大小为Bv2t tanα．
17．
如图所示，一块质量为M的木板停在光滑的水平面上，木板的左端有挡板，挡板上固定一个小弹簧．一个质量为m的小物块（可视为质点）以水平速度υ0从木板的右端开始向左运动，与弹簧碰撞后（弹簧处于弹性限度内），最终又恰好停在木板的右端．根据上述情景和已知量，可以求出（ ）
如图所示，一块质量为M的木板停在光滑的水平面上，木板的左端有挡板，挡板上固定一个小弹簧．一个质量为m的小物块（可视为质点）以水平速度υ0从木板的右端开始向左运动，与弹簧碰撞后（弹簧处于弹性限度内），最终又恰好停在木板的右端．根据上述情景和已知量，可以求出（ ）| A． | 弹簧的劲度系数 | |
| B． | 弹簧的最大弹性势能 | |
| C． | 木板和小物块组成的系统最终损失的机械能 | |
| D． | 若再已知木板长度l可以求出木板和小物块间的动摩擦因数 |
1．
如图所示，在一个顶角为2θ（θ=53°）的倒立的光滑圆锥面内，放有质量为m=1kg的小物体，小物体与竖直转轴OO’之间用与圆锥母线平行、长为L=1m的轻质细线相连．欲使细线不松弛，小物体随圆锥面一起做匀速圆周运动的角速度ω可以为（ ）（g取10m/s2，sin53°=0.8）
如图所示，在一个顶角为2θ（θ=53°）的倒立的光滑圆锥面内，放有质量为m=1kg的小物体，小物体与竖直转轴OO’之间用与圆锥母线平行、长为L=1m的轻质细线相连．欲使细线不松弛，小物体随圆锥面一起做匀速圆周运动的角速度ω可以为（ ）（g取10m/s2，sin53°=0.8）| A． | 2rad/s | B． | 3rad/s | C． | 4rad/s | D． | 5rad/s |
2．
如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，绳子对物体的拉力为FT，物体所受重力为G，则下列说法正确的是（ ）
如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，绳子对物体的拉力为FT，物体所受重力为G，则下列说法正确的是（ ）| A． | 物体做匀速运动，且v1=v2 | B． | 物体做加速运动，且v2＜v1 | ||
| C． | 物体做加速运动，且FT＞G | D． | 物体做匀速运动，且FT=G |