Question

11．如图所示，在光滑水平桌面上放有长木板C，在C上左端和距左端x处各放有小物块A和B，A、B的体积大小可忽略不计，A、B与长木板C间的动摩擦因数为μ，A、B、C的质量均为m．开始时，B、C静止，A以某一初速度v₀向右做匀减速运动，设物体B与板C之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．（重力加速度为g）求：
（1）物体A向右做匀减速运动过程中，木板C受到物体A的摩擦力大小、方向；
（2）通过计算，判断物体A向右做匀减速运动过程中，物体B相对于C板是静止还是运动；
（3）要使物块A、B相碰，物块A的初速度v₀应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）A受到C的滑动摩擦力大小为μmg，方向向左，由牛顿第三定律分析木板C受到物体A的摩擦力大小、方向．
（2）我们可以先假设BC相对静止，求出BC的共同加速度，比较共同加速度与B能获得的最大加速度之间的关系，如果共同加速度小，则假设成立．
（3）要使物块A刚好与物块B发生碰撞，物块A运动到物块B处时，A、B的速度相等，求出此时的速度，再分别对A和C运用动能定理，联立方程即可解题．

解答 解：（1）A受到C摩擦力大小为μmg，方向向左，由牛顿第三定律：C受到A摩擦力大小为μmg，方向向右．                
（2）设A在C板上滑动时，B相对于C板不动，则对B、C，由牛顿第二定律有?
   μmg=2ma
得 $a=\frac{μg}{2}$?
又B依靠摩擦力可能获得的最大加速度为 a_m=$\frac{μmg}{m}$=μg
因a_m＞a，则B未相对C滑动而随木板C一起向右做加速运动
【或：B受到的摩擦力f_b=ma=$\frac{1}{2}$μmg＜f_m=μmg】
（3）要使物块A刚好与物块B发生碰撞，物块A运动到物块B处时，A、B的速度相等为v₁，
对物块A：v₁=v₀-μgt            
对物块B或C：v₁=at=$\frac{1}{2}$μgt     
得 v₁=$\frac{1}{3}$v₀
设木板C在此过程中的位移为x₁，则物块A的位移为x₁+x，则
  ${x_1}=\frac{v_1^2}{2a}=\frac{v_1^2}{μg}$
  ${x_1}+x=\frac{v_0^2-v_1^2}{2μg}$
联立上述各式解得 v₀=$\sqrt{3μgx}$
要使物块A、B发生相碰的条件是v₀＞$\sqrt{3μgx}$
答：
（1）C受到A摩擦力大小为μmg，方向向右．
（2）物体B相对于C板是静止．
（3）要使物块A、B相碰，物块A的初速度v₀应满足的条件是v₀＞$\sqrt{3μgx}$．

点评 该题是相对运动的典型例题，要认真分析物体的受力情况，正确判断两物体的运动情况，要使物块A刚好与物块B发生碰撞，则要物块A运动到物块B处时，A、B的速度相等，可由动能定理求出初速度，解法如下：由动能定理得：-μmg（x₁+x）=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，μmgx₁=$\frac{1}{2}$（2m）v₁²，联立上述各式解得v₀=$\sqrt{3μgx}$．要使物块A、B发生相碰的条件是v₀＞$\sqrt{3μgx}$．