Question

9．地球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧称测得一物体重为P；在赤道上测得同一物体重为0.9P，则地球的平均密度是多少？（G为常数，但不必代入具体数值）

Answer 1

分析 在两极万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供向心力，根据该规律求出地球的质量，从而求出地球的密度．

解答 解：设地球质量为M，半径为R，由于两极处物体的重力等于地球对物体的万有引力，即：
P=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$   ①
在赤道上，地球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，则有：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-0.9P=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$ ②
联立①②解得：
M=$\frac{4{π}^{2}P{R}^{3}}{G（P-0.9P）{T}^{2}}$
地球平均密度：
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}P{R}^{3}}{G（P-0.9P）{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{30π}{G{T}^{2}}$．
答：地球的平均密度为$\frac{30π}{G{T}^{2}}$．

点评 解决本题的关键知道在地球的赤道和两极，重力与万有引力大小的关系，并能灵活运用．