Question

14．一质量为m，长度为L，横截面积为S的木棒，竖直置于足够深得水中静止，然后用手缓慢将木棒顶部压向水面，放开木棒，水的密度为ρ．试：（已知固有周期为T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$）
（1）证明木棒在放手后所做的是简谐运动（不考虑水的粘滞阻力）
（2）设振动在水面上形成的波的波长为λ，求水面波传播的速度为多大？

Answer 1

分析 （1）简谐运动的特征是 F=-kx，分析木棒的受力情况，其合力提供回复力，结合浮力公式分析回复力与位移的关系来证明．
（2）先求出木棒的振动周期，再求波速．

解答 解：①如图

对m受力分析，开始时静止，由∑F=0得：
  mg-ρgSx₀=0
用手下压x距离，则m所受合力为：
  F=mg-ρgS（x₀+x）=-ρgSx
令k=ρgS
所以有：F=-kx
即木棒所受合外力与位移成正比，方向与位移方向相反，所以木棒做的是简谐运动．
②由T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$和v=$\frac{λ}{T}$得：
T=2π$\sqrt{\frac{m}{ρgS}}$        
v=$\frac{λ\sqrt{ρgSm}}{2πm}$     
答：
（1）证明略．
（2）水面波传播的速度为$\frac{λ\sqrt{ρgSm}}{2πm}$．

点评 解决本题的关键要正确分析木棒的受力情况，知道木棒所受的合力提供回复力，抓住简谐运动的特征F=-kx来证明．