Question

19．丁肇中领导的反物质与暗物质太空探测计划（AMS ）是人类探索世界的又一次飞跃．在该研究项目中将实验主要装置阿尔法磁谱仪安置于国际空间站．通过对粒子径迹的测量，间接研究粒子的性质．现对装置中的核心部件（桶状永磁体）进行讨论，如图（甲）所示，设桶状永磁体内分布有沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，而桶外几乎无磁场．内桶半径为R，桶长足够长．有一质量为m、电量为+e的反电子从xoy平面（z轴沿桶向下）打入桶中，忽略地磁场与各类摩擦影响，不计各粒子间相互作用．

（1）若反电子垂直于xoy平面从O点打入桶中，反电子所受洛仑兹力的方向；
（2）若从O点打入的反电子方向在xoz平面内且与z轴成α角，如图（乙）所示，要使反电子能打在桶壁，则反电子的速率；
（3）当打到桶壁的反电子垂直于桶壁方向的速度大于速度v₀（已知）时，才能被明显地观测到，如图（丙）所示，有一反电子垂直于xoy平面，从x轴上的P点打入，最后打在桶壁上的Q点（图中未画出）．P点在x轴上的坐标值为b-R，Q点在z轴上的坐标值为s，若Q点为明显的观测点，则入射速度v以及b、s与v₀之间应满足什么关系？

Answer 1

分析 （1）根据左手定则判断反电子所受洛伦兹力方向；
（2）反电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由几何关系得到半径满足的条件，即反电子的可求出速率；
（3）根据题意求出粒子运动轨道半径，粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出v以及b、s与v₀之间的关系．

解答 解：（1）根据左手定则判断：反电子所受洛伦兹力方向：沿x轴负方向；
（2）反电子在匀强磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：$evB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，
由几何关系得：R≤r+rcosα，
解得：$v≥\frac{eBR}{m（1+cosα）}$；
（3）当b≤s时，由几何关系：${r}_{\;}^{2}={s}_{\;}^{2}+（r-b）_{\;}^{2}$
解得：$r=\frac{{s}_{\;}^{2}+{b}_{\;}^{2}}{2b}$，
要求粒子垂直于筒壁方向速度大于已知速度${v}_{0}^{\;}$
即：$vcosα＞{v}_{0}^{\;}$，
又因为：$cosα=\frac{s}{r}=\frac{2bs}{{b}_{\;}^{2}+{s}_{\;}^{2}}$
所以$\frac{2bsv}{{b}_{\;}^{2}+{s}_{\;}^{2}}＞{v}_{0}^{\;}$
当b＞s时，由几何关系：${r}_{\;}^{2}={s}_{\;}^{2}+（b-r）_{\;}^{2}$
所以：$r=\frac{{s}_{\;}^{2}+{b}_{\;}^{2}}{2b}$
要求粒子垂直于筒壁方向速度大于已知速度${v}_{0}^{\;}$
即：$vcosα＞{v}_{0}^{\;}$
又因为：$cosα=\frac{s}{r}=\frac{2bs}{{b}_{\;}^{2}+{s}_{\;}^{2}}$
所以：$\frac{2bsv}{{b}_{\;}^{2}+{s}_{\;}^{2}}＞{v}_{0}^{\;}$，
当b=s时，则r=b=s，$v＞{v}_{0}^{\;}$；
答：（1）若反电子垂直于xoy平面从O点打入桶中，反电子所受洛仑兹力的方向：沿x轴负方向；
（2）要使反电子能打在桶壁，则反电子的速率为：$v≥\frac{eBR}{m（1+cosα）}$；
（3）入射速度v以及b、s与v₀之间应满足什么关系为：①当b≤s时，$\frac{2bsv}{{b}_{\;}^{2}+{s}_{\;}^{2}}＞{v}_{0}^{\;}$；②当b＞s时，$\frac{2bsv}{{b}_{\;}^{2}+{s}_{\;}^{2}}＞{v}_{0}^{\;}$；③当b=s时，$v＞{v}_{0}^{\;}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，认真审题理解题意、分析清楚粒子运动过程是解题的前提与关键，应用左手定则、知道洛伦兹力提供向心力应用牛顿第二定律可以解题；要掌握处理带电粒子在磁场中运动的方法．