Question

3．在某项娱乐活动中，要求参与者通过一光滑的斜面将质量为m的物块送上高处的水平传送带后运送到网兜内．斜面长度为l，倾角为θ=30°，传送带距地面高度为l，传送带的长度为3l，传送带表面的动摩擦因数μ=0.5，传送带一直以速度v=$\frac{\sqrt{3gl}}{2}$顺时针运动．当某参与者第一次试操作时瞬间给予小物块一初速度只能将物块刚好送到斜面顶端；第二次调整初速度，恰好让物块水平冲上传送带并成功到达网兜．

求：（1）第一次小物块获得的初速度v₁；
（2）第二次小物块滑上传送带的速度v₂和传送带距斜面的水平距离s；
（3）第二次小物块通过传送带过程中相对传送带的位移．

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的速度位移关系求解物块的初速度；
（2）恰好让物块水平冲上传送带，可以采用逆向思维冲上传送带的过程视为沿传送带反向平抛刚好沿斜面方向落在斜面上，根据平抛运动知识可以求出平抛的初速度，同时根据反向平抛运动求出传送带距斜面的水平距离；
（3）物块在水平面上在摩擦力作用下匀减速运动，求出物块离开传送带时的速度，根据运动学公式求解相对位移．

解答 解：（1）第一次在斜面上滑到顶端时加速度为：a=gsin30°=$\frac{1}{2}g$
由运动学公式得：${v}_{1}^{2}=2al$
得第一次小物块获得的初速度为：${v}_{1}=\sqrt{2al}=\sqrt{gl}$
（2）第二次恰好让物块水平冲上传送带，逆向看相当于平抛运动，竖直方向上相当于自由落体，有：v_y=$\sqrt{2g•\frac{1}{2}l}=\sqrt{gl}$
同时有：$\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$
解得：${t}_{1}=\sqrt{\frac{l}{g}}$
由速度分解关系得第二次小物块滑上传送带的速度为：v₂=v_x=$\frac{{v}_{y}}{tan30°}$=$\sqrt{3gl}$
传送带距斜面的水平距离为：s=v_xt₁=$\sqrt{3gl}•\sqrt{\frac{l}{g}}$=$\sqrt{3}l$
（3）在传送带上，当减速到与传送带速度相等时，有：${v}^{2}-{v}_{2}^{2}$=-2μgx
向右运动距离为：x=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}^{2}}{2μg}$=$\frac{3gl-\frac{3}{4}gl}{2•0.5g}$=$\frac{9}{4}l＜3l$
物块在传送带上减速的时间为：t₂=$\frac{{v}_{2}-v}{μg}$=$\frac{\sqrt{3gl}-\frac{1}{2}\sqrt{3gl}}{0.5g}$=$\sqrt{\frac{3l}{g}}$
此过程中传送带向右运动的距离为：s_传=vt₂=$\frac{1}{2}\sqrt{3gl}•\sqrt{\frac{3l}{g}}$=$\frac{3}{2}l$
物块与传送带之间相对位移大小为：△s=x-s_传=$\frac{9}{4}l-\frac{3}{2}l$=$\frac{3}{4}l$
答：（1）第一次小物块获得的初速度v₁为$\sqrt{gl}$；
（2）第二次小物块滑上传送带的速度v₂为$\sqrt{3gl}$，传送带距斜面的水平距离s为$\sqrt{3}l$；
（3）第二次小物块通过传送带过程中相对传送带的位移为$\frac{3}{4}l$．

点评 本题主要思维是根据物块斜抛至传送带时速度方向刚好水平，采用逆向思维，看成反向的平抛运动，根据平抛运动的知识求解．