Question

20．如图所示，在水平面上有两条金属导轨MN、PQ，导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向里，磁感应强度的大小为B，两根质量均为m的完全相同的金属杆1、2间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直．它们的电阻均为R，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属杆的摩擦不计．杆1以初速度v₀滑向杆2，为使两杆不相碰．求
（1）若杆2固定，最初摆放两杆时的最小距离S₁为多少？
（2）若杆2不固定，杆1在运动过程中产生的热量Q为多少？最初摆放两杆时的最小距离S₂为多少？

Answer 1

分析 （1）若杆2固定，杆1以初速度v₀滑向杆2，做减速运动，对杆1，运用动量定理，采用微元思想求出最初摆放两杆时的最小距离．
（2）若杆2不固定，两杆组成的系统动量守恒，结合动量守恒求出共同速度，运用能量守恒求出杆1在运动过程中产生的热量，对杆2研究，运用动量定理，采用微元思想求出最初摆放两杆时的最小距离．

解答 解：（1）若杆2固定，杆1以初速度v₀滑向杆2，做减速运动，
根据动量定理，有：∑-F•△t=∑m△v，
安培力为：$F=\frac{{B}^{2}{d}^{2}v}{R}$，
整理得：$\frac{{B}^{2}{d}^{2}}{2R}{s}_{1}=m{v}_{0}$，
解得：${s}_{1}=\frac{2mR{v}_{0}}{{B}^{2}{d}^{2}}$．
（2）若杆2不固定，系统动量守恒，以向右为正方向，有：mv₀=2mv
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{2}$，
根据能量守恒得，整个回路产生的热量${Q}_{总}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$=$\frac{1}{4}m{{v}_{0}}^{2}$，
则杆1在运动过程中产生的热量$Q=\frac{{Q}_{总}}{2}=\frac{1}{8}m{{v}_{0}}^{2}$．
对杆2，采用微元法，以向右问正方向，根据动量定理，有：∑-F•△t=∑m△v，
其中：F=BId=B$\frac{Bd（{v}_{1}-{v}_{2}）}{2R}$d，
故-∑$\frac{{B}^{2}{d}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{2R}△t$=∑m△v，
即$\frac{{B}^{2}{d}^{2}（{l}_{2}-{l}_{1}）}{2R}$=m$\frac{{v}_{0}}{2}$，
解得：l₁-l₂=$\frac{{mv}_{0}R}{{B}^{2}{d}^{2}}$．
即AB间的距离最小为s₂=$\frac{{mv}_{0}R}{{B}^{2}{d}^{2}}$．
答：（1）若杆2固定，最初摆放两杆时的最小距离S₁为$\frac{2mR{v}_{0}}{{B}^{2}{d}^{2}}$；
（2）若杆2不固定，杆1在运动过程中产生的热量Q为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{8}$，最初摆放两杆时的最小距离S₂为$\frac{{mv}_{0}R}{{B}^{2}{d}^{2}}$．

点评 本题是力电综合问题，关键是明确两个导体棒均做变加速运动，要结合动量守恒定律和动量定理列式，同时要结合微元法思想分析，难度较大．