Question

10．如图甲为倾角θ=30°的绝缘光滑匀质直角斜面体，其直角棱固定在水平地面上的光滑转动轴上，斜面长l=2m．斜面体顶端固定一个半径r=$\sqrt{3}$m的轻质绝缘光滑圆弧轨道，圆弧轨道和斜面体底边中点在同一竖直平面内，斜面体与圆弧轨道平滑连接，圆弧轨道顶端的切线方向恰好竖直．其正视图如图乙所示．圆弧轨道所在的空间区域有竖直向上的匀强电场，场强大小E=1.0×10³V/m，圆弧轨道上方和下方均无电场．一个带电量q=+1.0×10^-3C、质量m=0.1kg的小球（可视为质点）从斜面体底边中点处以初速度v₀=$\sqrt{22}$m/s垂直底边沿斜面向上滑动，斜面体始终处于静止状态，不计空气阻力，g=10m/s²．试求：
（1）小滑块能够上升到距离地面的最大高度；
（2）为使斜面体始终处于静止状态，斜面体的质量至少是多大？

Answer 1

分析 （1）根据已知条件判断出在圆弧轨道上做匀速圆周运动，根据几何关系求出圆心角，根据动能定理求出小滑块能够上升到距离地面的最大高度；
（2）分两种情况讨论，一是滑块在斜面顶端时，根据力矩平衡求出斜面体的质量；二是滑块在轨道顶端时，根据力矩平衡和机械能守恒定律联立求出斜面体的质量，最后综合得出结论．

解答 解：（1）由已知条件可得 qE=mg=1.0N，所以小滑块在圆弧轨道上运动时做匀速圆周运动．                           
由几何关系可知，圆弧轨道对应的圆心角为60°，设小滑块能够上升到距离地面的最大高度为h．由动能定理得$\frac{1}{2}mv_0^2=mg（h-rsin{60^o}）$
解得h=2.6m （h＞1m，答案合理）           
（2）为使斜面体始终处于静止状态，设斜面体的质量至少是M．滑块在斜面上滑动时对斜面体的压力为mgcosθ，且到达斜面顶端时力臂最大，所以要使滑块在斜面上滑动时保持斜面体静止，必须满足$Mg•\frac{1}{3}lcosθ=mgcosθ•l{sin^2}θ$
解得M=0.075Kg                                    
由qE=mg知，小滑块在圆弧轨道上做匀速圆周运动，所需的向心力等于轨道对滑块的压力．由牛顿第三定律知，滑块对轨道的压力等于向心力，且滑块在轨道顶端时对斜面体的力矩最大，所以要使滑块在圆弧轨道上做匀速圆周运动时保持斜面体静止，斜面体的质量至少满足其重力力矩等于此时滑块对轨道的压力力矩．设滑块做匀速圆周运动的速度为v，根据力矩平衡条件有$Mg\frac{1}{3}lsin{60^o}=\frac{{m{v^2}}}{r}（lsin{30^o}+rsin{60^o}）$
滑块从斜面底端滑到斜面顶端过程中，由机械能守恒定律有$\frac{1}{2}mv_0^2=mglsin{30^o}+\frac{1}{2}m{v^2}$
解得 M=0.05Kg．
综上所述，M=0.075Kg                              
答：（1）小滑块能够上升到距离地面的最大高度2.6m；
（2）为使斜面体始终处于静止状态，斜面体的质量至少是0.075kg

点评 本题本题考查动能定理及力矩平衡和机械能守恒定律等内容，要注意正确受力分析，理清运动的过程，本题综合性很强，要能灵活运用学过的规律解题．