Question

3．我国已启动“嫦娥工程”，并于2007年10月24日和2010年10月1日分别将“嫦娥一号”和“嫦娥二号”成功发射．不久，我们将会登上月球．若在月球表面A点的正上方某处B以初速度v₀将小物块水平抛出，物块落在月球表面C点，用米尺测出A、B两点间的距离h和A、C两点间的距离s．设A、C两点在同一水平面上，月球可视为均匀球体且半径为R．试问：
（1）月球表面重力加速度g为多大？
（2）物块水平“抛出”的初速度至少为多大才不会落回月球表面？

Answer 1

分析 （1）根据水平位移和初速度求出平抛运动的时间，结合高度求出月球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出物块水平抛出的最小初速度，即第一宇宙速度．

解答 解：（1）由平抛运动规律得：
水平方向：s=v₀t，
解得：t=$\frac{s}{{v}_{0}}$，
竖直方向：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
可求得月球表面重力加速度为：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}=\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{s}^{2}}$     
（2）要使物块不会落回月球表面，水平“抛出”的初速度至少为月球的第一宇宙速度，此时月球对物体的万有引力作向心力：
有$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
在月球表面有$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$    
得：GM=gR²
代入上式得：v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2h{{v}_{0}}^{2}R}{{s}^{2}}}$．
答：（1）月球表面重力加速度为$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{s}^{2}}$；
（2）物块水平“抛出”的初速度至少为$\sqrt{\frac{2h{{v}_{0}}^{2}R}{{s}^{2}}}$才不会落回月球表面．

点评 本题考查了万有引力定律与平抛运动的综合，通过平抛运动的规律求出月球表面的重力加速度是解决本题的关键．