题目内容

6．MN和M′N′为两竖直放置的平行光滑长直金属导轨，两导轨间的距离为L．在导轨的下部有垂直于导轨向里的匀强磁场，磁感应强度为B．金属棒ef的长度为L、质量为m、电阻可忽略不计．在以下讨论中，假设导轨足够长，磁场区域足够大，金属棒ef与导轨垂直并良好接触，导线和各接触处的电阻不计，电路的电感、空气的阻力可忽略，已知重力加速度为g．
（1）如图甲所示，当在导轨的MM′端通过导线将阻值为R的定值电阻连接，在t=0时无初速度地释放金属棒ef，求金属棒所能达到的最大速度vm的大小．
（2）如图乙所示，当在导轨的MM′端通过导线将电容为C、击穿电压为Ub、正对面积为S、极板间可认为是真空、极板间距为d的平行板电容器连接，在t=0时无初速度地释放金属棒ef．
①求电容器达到击穿电压所用的时间；
②金属棒ef下落的过程中，速度逐渐变大，感应的电动势逐渐变大，电容器极板上的电荷量逐渐增加，两极板间存储的电场能也逐渐增加．单位体积内所包含的电场能称为电场的能量密度．已知平行板电容器的电容的大小可表示为C=$\frac{{?}_{0}S}{d}$，?0为真空中的介电常数．证明：平行板电容器两极板间的空间内的电场能量密度ω与电场强度E的平方成正比，并求出比例系数．结果用?0和一些数字的组合表示．

分析 （1）当金属棒开始运动时，会受到向上的安培力，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减小到0时，速度达到最大．根据最终达到平衡，列出平衡方程，求出最大速度；
（2）①由左手定则来确定安培力的方向，并求出安培力的大小；借助于I=$\frac{Q}{t}$、a=$\frac{△v}{△t}$及牛顿第二定律来求出速度与时间的关系，再由C=$\frac{Q}{U}$以及法拉第电磁感应定律即可求出电容器达到击穿电压所用的时间．
②由法拉第电磁感应定律，求出感应电动势；再与C=$\frac{{?}_{0}S}{d}$，C=$\frac{Q}{U}$，U=Ed以及电场能的公式相结合即可求出电场能量密度ω与电场强度E的平方成正比的表达式．

解答 解：（1）当金属棒匀速运动时，金属棒受到的安培力和重力是一对平衡力，即：F安=mg
又因为：${F}_{安}=BIL=B\frac{E}{R}L=B•\frac{BL{v}_{m}}{R}L$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$
所以，金属棒此时的速度大小为：vm=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）①在电容器达到击穿电压前，设任意时刻t，流过金属棒的电流为i，由牛顿第二定律，金属棒的加速度a满足：mg-BiL=ma
设在t→t+△t的时间内，金属棒的速度：v→v+△v，
电容器两端的电压：U→U+△U、
电容器的带电量：Q→Q+△Q，
由电流的定义、电量电压和电容间的关系、电磁感应定律以及加速度的定义得：i=$\frac{△Q}{△t}=\frac{C△U}{△t}$=$\frac{CBL△v}{△t}$=CBLa
将此式和上式联立得：a=$\frac{mg}{{B}^{2}{L}^{2}C+m}$
可见，金属棒做初速度为0的匀加速直线运动，当电容器达到击穿电压时，金属棒的速度为：${v}_{0}=\frac{{U}_{b}}{BL}$
所以，电容器达到击穿电压所用的时间为：t=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{{U}_{b}（{B}^{2}{L}^{2}C+m）}{BLmg}$
②当电容器两极板间的电荷量增加无穷小量△Qi时，极板间的电压可认为始终为Ui，增加的电场能可用图1中左边第1个阴影部分的面积表示；同理，当电容器两极板间的电荷量增加无穷小量△Qi+1时，极板间的电压可认为始终为Ui+1，增加的电场能可用图1中第2个阴影部分的面积表示；依此类推，所以在图2中，阴影部分的面积表示电容器的带电量为Q′、两端电压为U′时，两极板间电场能的大小E′，所以：$E′=\frac{1}{2}U′Q′$
根据题意有：ω=$\frac{E′}{Sd}$，
将Q′=CU′、U′=Ed和C=$\frac{{?}_{0}S}{d}$带入上式，整理得：$ω=\frac{1}{2}{?}_{0}{E}^{2}$
所以，能量密度ω与电场强度E的平方成正比，且比例系数为：$\frac{1}{2}{?}_{0}$
答：（1）金属棒所能达到的最大速度vm的大小是$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）①电容器达到击穿电压所用的时间是$\frac{{U}_{b}（{B}^{2}{L}^{2}C+m）}{BLmg}$；
②能量密度ω与电场强度E的平方成正比的证明如上；其中的比例系数为$\frac{1}{2}{?}_{0}$．

点评 本题难度比较大，让学生理解左手定则、安培力的大小、法拉第电磁感应定律，再应用牛顿第二定律、匀变速运动的速度公式、E=BLv即可正确解题．

练习册系列答案
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C．对物体，动能定理的表达式为WFN-mgH=$\frac{1}{2}$mv22-$\frac{1}{2}$mv12
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18．实验室中有一量程较小的电流表G，其内阻约为100Ω，满偏电流为10mA，将它改装成量程为0.1A、1A的双量程电流表．现有器材如下：
A．滑动变阻器R1，最大阻值50Ω
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C．电阻箱R'
D．电池E1，电动势1.5V
E．电池E2，电动势15V；（所有电池内阻均不计）
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（1）采用如图甲所示电路测量电流表G的内阻，步骤如下：
a．先将R调到最左端，闭合S1，断开S2，调节R使电流表G满偏
b．使R不变，闭合S2，调节电阻箱R′，使电流表G半偏
c．此时电阻箱R′的读数即为电流表的内阻RG．
为提高测量精确度，选用的滑动变阻器为B、电池为E2（填器材前的序号）；
（2）采用此种方法电流表G内阻测量值＜真实值（填“＞”、“=”或“＜”）；
（3）如果在步骤（1）中测得电流表G的内阻为90Ω，将电流表G改装成双量程电流表，设计电路如图乙所示，则在此电路中，R1=1Ω，R2=9Ω．
15．关于速度和加速度的关系，下列说法正确的是（　　）
A．物体的速度越大，加速度越大
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