Question

9．如图甲所示，带正电的粒子束从静止开始经加速电场加速后，从水平放置的平行金属板AB正中间沿OO′方向射入偏转电场中，紧靠AB金属板右端安放着垂直于金属板的靶MN，AB金属板上所加的方波形电压如图乙所示，电压正向为U₀，反向电压为$\frac{{U}_{0}}{2}$，且每隔$\frac{T}{2}$改变方向1次．已知所有进入偏转电场的粒子部能打在金属靶MN上，粒子在AB间的飞行时间为T，偏转金属板AB的板长为L，其板间的距离为d，每个粒子的电荷量为q，质量为m，粒子的重力忽略不计，试求：
（1）加速电场两端的电压U_x；
（2）t=0时刻进入偏转电场的粒子击中金属靶时沿MN的侧向速度大小v_y；
（3）AB金属板之间的最小间距d_min．

Answer 1

分析 （1）粒子在AB间沿水平方向做匀速直线运动，求出粒子水平速度，然后应用动能定理求出加速电压．
（2）粒子在AB间沿水平方向做匀速直线运动，t=0时刻进入板间粒子先向下做初速度为零的匀加速直线运动，然后向下做匀减速直线运动，应用匀变速直线运动的速度公式求出粒子的侧向速度大小．
（3）t=0时刻的粒子在竖直方向的位移最大，应用匀变速直线运动的运动规律求出其位移，AB间的最小距离应该等于t=0时刻进入板间粒子的竖直分位移．

解答 解：（1）粒子在AB板间沿水平方向做匀速直线运动，速度：v₀=$\frac{L}{T}$，
在加速电场中，由动能定理得：qU_X=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，解得：U_X=$\frac{m{L}^{2}}{2q{T}^{2}}$；
（2）t=0时刻进入AB板的粒子先向下做初速度为零的匀加速直线运动，
然后向下做匀减速直线运动，粒子击中金属靶时沿MN的侧向速度大小：
v_y=a₁t₁-a₂t₂=$\frac{q{U}_{0}}{md}$×$\frac{T}{2}$-$\frac{q\frac{{U}_{0}}{2d}}{m}$×$\frac{T}{2}$=$\frac{q{U}_{0}T}{4md}$；
（3）t=0时刻进入偏转电场的粒子在竖直方向的位移：
y=$\frac{1}{2}$a₁t₁²+a₁t₁t₂-$\frac{1}{2}$a₂t₂²=$\frac{1}{2}$×$\frac{q{U}_{0}}{md}$×$（{\frac{T}{2}）}^{2}$+$\frac{q{U}_{0}}{md}$×$\frac{T}{2}$×$\frac{T}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{q{U}_{0}}{2md}$×$（{\frac{T}{2}）}^{2}$=$\frac{5q{U}_{0}{T}^{2}}{16md}$，
AB金属板之间的最小间距d_min=$\frac{5q{U}_{0}{T}^{2}}{16md}$；
答：（1）加速电场两端的电压U_x为$\frac{m{L}^{2}}{2q{T}^{2}}$；
（2）t=0时刻进入偏转电场的粒子击中金属靶时沿MN的侧向速度大小v_y为$\frac{q{U}_{0}T}{4md}$；
（3）AB金属板之间的最小间距d_min为$\frac{5q{U}_{0}{T}^{2}}{16md}$．

点评 本题考查了粒子在电场中的运动，粒子在加速电场中加速，在偏转电场中沿水平方向做匀速直线运动，沿竖直方向做匀变速直线运动，应用动能定理、牛顿第二定律与匀变速直线运动的运动学公司可以解题，分析清楚粒子运动过程是解题的前提与关键．