Question

7．质量为m₁=0.5kg的小杯里盛有质量为m₂=1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为r=1m，小杯通过最高点的速度为v=4m/s，g取10m/s²，求：
（1）在最高点时，绳的拉力大小；
（2）在最低点时，绳的拉力大小．

Answer 1

分析 （1）在最高点应用牛顿第二定律即可求解；
（2）由机械能守恒求得在最低点的速度，然后由牛顿第二定律即可求解．

解答 解：（1）选杯子和杯子里的水为研究对象，在最高点时由重力和绳子的拉力T的合力提供它们做圆周运动的向心力．由牛顿第二定律有：
$（{m}_{1}+{m}_{2}）g+T=（{m}_{1}+{m}_{2}）\frac{{v}^{2}}{r}$；
所以有：$T=（{m}_{1}+{m}_{2}）（\frac{{v}^{2}}{r}-g）=9N$；
（2）杯子和杯子里的水在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，故设小杯在最低点的速度为v′，绳子拉力为T′；
那么由机械能守恒可得：$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）v{′}^{2}=2（{m}_{1}+{m}_{2}）gr+\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$
解得：$v′=\sqrt{{v}^{2}+4gr}=\sqrt{56}m/s$=$2\sqrt{14}m/s$；
由牛顿第二定律可得：$T′-（{m}_{1}+{m}_{2}）g=\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）v{′}^{2}}{r}$；
解得：$T′=（{m}_{1}+{m}_{2}）（\frac{v{′}^{2}}{r}+g）=99N$；
答：（1）在最高点时，绳的拉力大小为9N；
（2）在最低点时，绳的拉力大小为99N．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．