Question

3．如图所示，以A、B和C、D为断点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑的地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C两点，一物块（视为质点）被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A 点时刚好与传送带速度相同，然后经A 点沿半圆轨道滑下，且在B点对轨道的压力大小为10mg，再经B点滑上滑板，滑板运动到C点时被牢固粘连．物块可视为质点，质量为m，滑板质量为M=2m，两半圆半径均为R，板长l=6.5R，板右端到C点的距离为L=2.5R，E点距A点的距离s=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数相同，重力加速度为g．求

（1）物块滑到B点的速度大小．
（2）物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数．
（3）求物块与滑板间因摩擦而产生的总热量．

Answer 1

分析 （1）在B点，由轨道的支持力和重力的合力提供向心力，根据向心力公式求解；
（2）从E到B的过程中，根据动能定理求解；
（3）滑块滑上木板后做匀减速直线运动，木板做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求解加速度，根据运动学基本公式判断速度相当时的位置关系，再根据摩擦力做功公式结合能量守恒求解

解答 解：（1）根据牛顿第三定律知，在B点，轨道对物块的支持力等于10mg
在B点，由轨道的支持力和重力的合力提供向心力，则有：10mg-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：${v}_{B}=3\sqrt{gR}$
（2）从E到B的过程中，根据动能定理得：mg•2R+$μmgs=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
解得：μ=0.5
（3）滑块滑上木板后做匀减速直线运动，木板做匀加速直线运动，
对物块由牛顿第二定律得：a₁=$\frac{μmg}{m}=5m/{s}^{2}$
对滑板由牛顿第二定律得：a₂=$\frac{μmg}{M}=2.5m/{s}^{2}$
设经过时间t滑板与物块达到共同速度v时，位移分别为x₁、x₂，
v_B-a₁t=a₂t
${x}_{1}={v}_{B}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
x₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
联立解得：x₁=2R，x₂=8R 
即物块与滑板在达到共同速度时，物块未离开滑板，则有：Q₁=μmg（x₂-x₁）
物块与木板此后以共同速度匀速运动至C点 滑板则不再运动，物块继续往前运动0.5R冲上圆弧，
Q₂=μmg•0.5R
物块滑回来，由能量守恒可得：
Q₃=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
则总热量为：Q=Q₁+Q₂+Q₃=3.5mgR  
答：（1）物块滑到B点的速度大小为$3\sqrt{gR}$．
（2）物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数为0.5；
（3）求物块与滑板间因摩擦而产生的总热量位3.5mgR

点评 本题考查机械能守恒以及有摩擦的板块模型中克服摩擦力做的功．判断物块与滑板在达到相同共同速度时，物块未离开滑板是关键，是一道比较困难的好题