Question

17．甘蔗榨汁机原理如图所示，在板上放好甘蔗，用轮子和板之间的压力把甘蔗汁压出来，再沿着金属板上的凹槽流入容器，为了榨出更多的汁，每根甘蔗都要榨二遍．设有一节甘蔗长为1m，重2kg，每次都无初速的放到金属板上，刚碰到轮子，工作时，轮子与甘蔗产生恒定的压力．已知轮子与甘蔗间的动摩擦因数为0.5，甘蔗与光滑金属板间无摩擦．轮子的半径为0.1m，由电动机带动转动，其角速度恒为5rad/s．g取10m/s²．求：
（1）榨完一节甘蔗需要多少时间？
（2）如果设电动机的效率是100%，那么榨10节这样的甘蔗电动机要消耗多少电能？
（3）要使压榨每节甘蔗的时间为最短，轮子的角速度至少为多大？

Answer 1

分析 （1）甘蔗先加速运动后匀速运动，根据牛顿第二定律求出加速运动的加速度，再由位移公式求时间．
（2）由位移关系求得相对位移，从而求得摩擦生热，由能量守恒定律求电动机消耗的电能．
（3）要使压榨每节甘蔗的时间为最短应一直做加速运动，由运动学公式求解．

解答 解：（1）轮子的线速度为：v=ωr=5×0.1=0.5m/s
甘蔗先加速运动后匀速运动，加速时加速度为：a=$\frac{μmg}{m}$=μg=5m/s²．
加速时间为：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{0.5}{5}$=0.1s                                                       
位移为：x₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×5×0．{1}^{2}$=0.25m
匀速运动位移为：x₂=x-x₁=1m-0.25m=0.75m
时间为：t₂=$\frac{{x}_{2}}{v}$=$\frac{0.75}{0.5}$=1.5s                                                     
总时间为：t=2（t₁+t₂）=3.2s                                              
（2）轮子与甘蔗的相对位移为：△x=x₁=0.25m
发热为：Q=μmg△x=0.5×2×10×0.25J=2.5J                           
动能增加为：E_K=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×0．{5}^{2}$=0.25J                                
消耗电能为：E=Q+E_K=2.75J   所以消耗的总电能是20E=55J      
（3）要使压榨每节甘蔗的时间为最短应一直做加速运动，滚轮的线速度为：
v_t=$\sqrt{2ax}$=$\sqrt{2×5×1}$=$\sqrt{10}$m/s                       
滚轮角速度至少为：ω=$\frac{{v}_{t}}{r}$=10$\sqrt{10}$rad/s
答：（1）榨完一节甘蔗需要3.2s时间．
（2）如果设电动机的效率是100%，那么榨10节这样的甘蔗电动机要消耗55J电能．
（3）要使压榨每节甘蔗的时间为最短，轮子的角速度至少为10$\sqrt{10}$rad/s．

点评 本题与物体放在传送带运动类型相似，关键要正确分析甘蔗的运动情况，判断能量的转化情况．