Question

10．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B；第二象限有沿x轴正方向的大小可调的匀强电场，其电场强度的大小可取从0到Em之间的任意数值，当电场强度的大小为E_m时，一带正电的粒子从x轴负半轴上的P（-0.08m，0）点，以初速度v₀=3×l0⁴m/s沿y轴正方向射入匀强电场，经过y轴上的Q（0，0.12m）点后恰好垂直打到x轴正半轴上，带电粒子的比荷为$\frac{q}{m}=\frac{1}{3}$×l0⁹C/kg，不计带电粒子所受重力，只考虑带电粒子第一次进入磁场的情况，求：
（1）匀强电场的电场强度的最大值E_m的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）若带电粒子每次均从M（-0.08m，0.12m）点，以相同初速度v_o沿y轴正方向射出，改变电场强度的大小，求带电粒子经过x轴正半轴的位置范围．

Answer 1

分析 （1）分析可知，粒子在电场中做类平抛运动，利用运动的合成和分解、牛顿第二定律以及运动学规律，联立即可求出匀强电场的电场强度的最大值E_m的大小；
（2）利用平行四边形定则求出粒子进入磁场时的速度，运用洛伦兹力提供向心力结合几何关系，即可求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）根据运动的合成和分解求出粒子经过y轴的速度大小，再利用洛伦兹力提供向心力，找到粒子在左右两侧的临界几何关系，即可求出粒子经过x轴的最小坐标值和最大坐标值．

解答 解：（1）设粒子到达y轴所用时间为t，
根据类平抛规律有：y₀=v₀t…①
x_P=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$…②
根据牛顿第二定律：qE_m=ma…③
联立①②③式得：E_m=30N/C…④
（2）设粒子经过y轴的速度大小为v，方向与y轴的夹角为θ，粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，
粒子进入磁场时速度大小为：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（a{t）}^{2}}$…⑤
类平抛速度偏向角公式：tanθ=$\frac{at}{{v}_{0}}$=$\frac{q{E}_{m}t}{m{v}_{0}}$…⑥
几何关系有：Rsinθ=y₀ …⑦
洛伦兹力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式得：B=1×10^-3T…⑨
（3）设电场强度为E，粒子经过y轴的速度大小为v′，方向与y轴的夹角为α，
则：v₀=v′cosα…⑩
粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，圆心到y轴的距离为d，
则：d=rcosα…⑪
洛伦兹力提供向心力可得：qv′B=m$\frac{{v′}^{2}}{r}$…⑫
联立⑨⑩⑪⑫得：d=$\frac{mv′}{qB}•cosα$=$\frac{m{v}_{0}}{qBcosα}•cosα$=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=0.09m
由于粒子做圆周运动的圆心到y轴的距离不变，故粒子经过x轴的坐标值最小为：x₁=d=0.09m…⑬
当电场强度的大小为E_m时，粒子在磁场中做圆周运动的半径最大，圆心的y坐标最小，故粒子此时经过x轴的坐标值最大，
设粒子经过x轴的坐标值最大值为x₂，
根据动能定理可得：qE_mx_M=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…⑭
洛伦兹力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑮
根据几何关系有：$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+{y}_{M}^{2}}$=R…⑯
联立⑬⑭⑮⑯式得：x₂=0.18m
故带电粒子经过x轴的位置范围为0.09m～0.18m之间
答：（1）匀强电场的电场强度的最大值E_m的大小为30N/C；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小为1×10^-3T；
（3）若带电粒子每次均从M（-0.08m，0.12m）点，以相同初速度v_o沿y轴正方向射出，改变电场强度的大小，带电粒子经过x轴正半轴的位置范围为0.09m～0.18m之间．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，解题关键是要知道粒子做什么运动，选择合适的规律解题，还要注意分析粒子出电场进磁场衔接点的瞬时速度；第三问的关键在于临界几何条件的寻找，对数学几何能力要求较高．