Question

1．在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，在经过多次弹跳才停下来，假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v₀，求：
（1）火星表面的重力加速度
（2）它第二次落到火星表面时速度大小，（计算时不计大气阻力），已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期T，火星可视为半径为r₀的均匀球体．

Answer 1

分析 结合万有引力等于重力和万有引力提供向心力求出火星表面的重力加速度．根据动能定理或机械能守恒求出卫星第二次落到火星表面时的速度大小．

解答 解：（1）对于火星的卫星m，根据向心力公式得：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
对于火星表面的物体m₀，有：$G\frac{M{m}_{0}}{{{r}_{0}}^{2}}={m}_{0}g$
则：g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}^{2}{{r}_{0}}^{2}}$
（2）着陆器第二次下落，机械能守恒：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{8{π}^{2}h{r}^{3}}{{T}^{2}{{r}_{0}}^{2}}+{{v}_{0}}^{2}}$
答：（1）火星表面的重力加速度为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}^{2}{{r}_{0}}^{2}}$；
（2）它第二次落到火星表面时速度大小为$\sqrt{\frac{8{π}^{2}h{r}^{3}}{{T}^{2}{{r}_{0}}^{2}}+{{v}_{0}}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能熟练运用．