Question

18．探月工程三期飞行试验器于2014年10月24日2时在中国西昌卫星发射中心发射升空，飞行试验器飞抵距月球6万千米附近进入月球引力影响区，开始月球近旁转向飞行，最终进入距月球表面h（h=200km）的圆形工作轨道．设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则下列选项正确的是（　　）

• A． 由题目条件可知月球的平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$
• B． 飞行试验器绕月球运行的周期为2π $\sqrt{\frac{R+h}{g}}$
• C． 在飞行试验器的工作轨道处的重力加速度为（$\frac{R+h}{R}$）²g
• D． 飞行试验器在工作轨道上的绕行速度为$\sqrt{g（R+h）}$

Answer 1

分析 根据万有引力与星球表面重力相等列出等式，根据牛顿第二定律得出飞行试验器在工作轨道上的加速度；飞行器绕月运行时万有引力提供圆周运动向心力列出等式求解；根据万有引力提供向心力，推导出线速度求解；根据密度定义求解

解答 解：A、令月球质量为M，在月球表面重力与万有引力相等有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，可得$GM=g{R}_{\;}^{2}$月球质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，且体积$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，根据密度公式$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3g}{4πRG}$，故A正确；
B、行器绕月运行时万有引力提供圆周运动向心力有：G$\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R+h}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得$T=2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{GM}}$=$2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$，故B错误；
C、飞行试验器工作轨道处的重力加速度为g′，根据$mg′=G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}$，则有
$g′=\frac{GM}{（R+h）_{\;}^{2}}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{2}}$=$（\frac{R}{R+h}）_{\;}^{2}g$，故C错误；
D、$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{R+h}}$，故D错误；
故选：A

点评 万有引力提供圆周运动向心力和万有引力与星球表面重力相等是解决此类问题的主要入手点，关键是掌握相关公式及公式变换．