Question

15．如图所示，一半径R=1m的圆盘水平放置，在其边缘 E点固定一小桶（可视为质点）．在圆盘直径DE的正上方平行放置一水平滑道 BC，滑道右端 C点与圆盘圆心O在同一竖直线上，且竖直高度h=1.25m．AB为一竖直面内的光滑圆弧轨道，半径r=0.45m，且与水平滑道相切与B点．一质量m=0.2kg的滑块（可视为质点）从A点由静止释放，当滑块经过B点时，对B点压力为6N，恰在此时，圆盘从图示位置以一定的角速度ω绕通过圆心的竖直轴匀速转动，最终物块由C点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内．已知滑块与滑道 BC间的摩擦因数μ=0.2．（取g=10m/s²）求：
（1）滑块到达B点时的速度；
（2）水平滑道 BC的长度；
（3）圆盘转动的角速度ω应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）滑块由A点到B过程中，只有重力做功，由动能定理求出滑块经过B点的速度大小；
（2）滑块离开C后做平抛运动，要恰好落入圆盘边缘的小桶内，水平位移大小等于圆盘的半径R，根据平抛运动的规律求得滑块经过C点的速度，根据动能定理研究BC过程，求解BC的长度；
（3）滑块由B点到C点做匀减速运动，由运动学公式求出时间，滑块从B运动到小桶的总时间等于圆盘转动的时间，根据周期性求解ω应满足的条件．

解答 解：（1）滑块到达B点时，由牛顿第二定律得：
$F-mg=m\frac{v_B^2}{r}$
代入数据解得：V_B=3m/s
（2）滑块离开C后，作平抛运动，由$h=\frac{1}{2}gt_1^2$
解得：${t}_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}s=0.5$s
${v_C}=\frac{R}{t_1}=2m/s$
滑块在BC上运动时，由牛顿运动定律得：μmg=ma，
代入数据解得：a=2m/s²
由滑块作减速运动，匀变速运动公式有：V_C²=V_B²+2as
代入数据解得：s=1.25m
（或：滑块由B点到由C点的过程中由动能定理得：
$-μmgx=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_B^2$
代入数据解得：x=1.25m
（3）滑块由B点到由C点，由运动学关系：$x=\frac{{{v_B}+{v_C}}}{2}{t_2}$
代入数据解得：t₂=0.5s
得：t=t₁+t₂=0.5s+0.5s=1s
圆盘转动的角速度ω应满足条件：$t=\frac{2nπ}{ω}$
代入数据得：ω=2nπrad/s（n=1、2、3、4…）
答：（1）滑块到达B点时的速度是3m/s；
（2）水平滑道 BC的长度是1.25m；
（3）圆盘转动的角速度ω应满足的条件ω=2nπrad/s（n=1、2、3、4…）．

点评 本题滑块经历三个运动过程，分段选择物理规律进行研究，关键是抓住圆盘与滑块运动的同时性，根据周期性求解ω应满足的条件．