Question

13．相距L=12.5m、质量均为m的两小球A、B，静放在足够长的绝缘水平面上，与水平面间的动摩擦因数均为μ=0.2，其中A电荷量为+q，B不带电．现在水平面附近空间施加一场强大小E=3m/q、水平向右的匀强电场，A开始向右运动，并与B发生多次对心碰撞，且碰撞时间极短，假设每次碰后两球交换速度，A带电量保持不变，B始终不带电，g取10m/s²，求
（1）第一次碰后B的速度vB1；
（2）从第五次碰撞结束到第六次碰撞开始，B运动的时间t_B5；
（3）B运动的总路程x．

Answer 1

分析 （1）第一次碰撞前，推力和滑动摩擦力做功，根据动能定理求解第一次碰撞前A的速度大小，由于发生弹性碰撞，A、B的动量和机械能均守恒，即可求得碰后B的速度大小；
（2）由于质量相等，两个物体交换速度，根据牛顿第二定律和运动学公式分别研究第一次、第二次…第n次碰撞后B的速度大小，即可求得第五次碰撞后至第六次碰撞前B的运动时间；
（3）总结出第n次碰后到第n+1次碰前B的运动位移，运用数学知识求解总路程．

解答 解：（1）A匀加速L，第一次碰前A的速度设为v_A1，由动能定理得：
$（F-μmg）L=\frac{1}{2}{mv}_{A1}^{2}$…①
解得：${v}_{A1}=\sqrt{\frac{gL}{5}}$
A与B发生第一次弹性碰撞，遵守动量守恒和机械能守恒，设碰后速度分别为：
v'_A1，v'_B1mv_A1=mv'_A1+mv'_B1…②
 $\frac{1}{2}{mv}_{A1}^{2}=\frac{1}{2}{mv′}_{A1}^{2}+\frac{1}{2}{mv′}_{B1}^{2}$…③
解得：v'_A1=0   $v{′}_{B1}=\sqrt{\frac{gL}{5}}$
（2）第一次碰后，设经过t₁B停下，B和A位移分别为S_B1和S_A1
${t}_{1}=\frac{v{′}_{B1}}{μg}$…④
 ${S}_{B1}=\frac{{v}_{B1}^{2}}{2μg}$…⑤
 ${S}_{A1}═\frac{1}{2}（\frac{F-μmg}{m}{）t}_{1}^{2}$…⑥
解得：${t}_{1}=\sqrt{\frac{5L}{g}}$${S}_{B1}=\frac{L}{2}$
 ${S}_{A1}=\frac{L}{4}$
由于S_B1＞S_A1，因此第2次碰前，B已经停下．设第2次碰前A的速度为v_A2
$（F-μmg）\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{mv}_{A2}^{2}-0$…⑦
A与B发生第2次弹性碰撞，遵守动量守恒和机械能守恒，碰后速度交换，设碰后速度分别为v'_A2，v'_B2
解得：v'_A2=0    $v{′}_{B2}=\sqrt{\frac{gL}{10}}$
同理依此类推，归纳得第n次碰后B的速度为：$v{′}_{Bn}=\sqrt{\frac{gL}{5×{2}^{n-1}}}$
第n次碰后到第n+1次碰前B的运动时间为：${t}_{n}=\frac{v{′}_{Bn}}{μg}$
由此得：${t}_{5}=\sqrt{\frac{5L}{16g}}$
（3）第n次碰后到第n+1次碰前B的运动位移为：${S}_{Bn}=\frac{{v}_{Bn}^{2}}{2μg}$=S_B=S_B1+S_B2+…+S_Bn=L
答：（1）第一次碰撞后B的速度大小为$\sqrt{\frac{gL}{5}}$；
（2）第五次碰撞后至第六次碰撞前B的运动时间为$\sqrt{\frac{5L}{16g}}$；
（3）B运动的总路程为L．

点评 本题是周期性碰撞类型，运用数学归纳法总结规律是关键．对于第3问也这样求解：最终AB靠在一起停下，由能量守恒得：F（L+S_B）=μmg（L+S_B）+μmgS_B解得S_B=L．