Question

1．如图所示，倾斜挡板NM上的一个小孔K，NM与水平挡板NP成60°角，K与N间的距离$\overline{KN}$=a．现有质量为m，电荷量为q的正电粒子组成的粒子束，垂直于倾斜挡板NM，以速度v₀不断射入，不计粒子所受的重力．
（1）若在NM和NP两档板所夹的区域内存在一个垂直于纸面向外的匀强磁场，NM和NP为磁场边界．粒子恰能垂直于水平挡板NP射出，求匀强磁场的磁感应强度的大小．
（2）若在NM和NP两档板所夹的区域内，某一部分区域存在与（1）中大小相等方向相反的匀强磁场．从小孔K飞入的这些粒子经过磁场偏转后也能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），求粒子在该磁场中运动的时间．
（3）若在（2）问中，磁感应强度大小未知，从小孔K飞入的这些粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），求该磁场的磁感应强度的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据几何知识求出粒子轨道半径，应用牛顿第二定律可以求出磁感应强度．
（2）根据题意求出粒子转过的圆心角θ，然后根据粒子的周期，由t=$\frac{θ}{2π}$T求出粒子的运动时间．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提高向心力，出粒子运动轨迹，由牛顿第二定律求出临界磁感应强度，然后答题．

解答 解：（1）粒子在磁场中作圆弧运动，轨迹如图所示，

由几何知识得，轨道半径：r=a，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qa}$；
（2）粒子运动轨迹如图所示：

粒子垂直MN板从K点入射后做匀速直线运动从D点开始进入磁场，进入磁场后，根据左手定则，
所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板NP，
则粒子需偏转300⁰后从E射出（倾斜虚线可视为磁场的直线边界），
做匀速直线运动垂直打到NP．粒子在磁场中运动的周期为：T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2πa}{{v}_{0}}$，
粒子在磁场中的运动时间：t=$\frac{300°}{360°}$T=$\frac{5aπ}{3{v}_{0}}$；
（3）要使B最小，则要半径r最大，临界情况是粒子圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，如图所示．

根据对称性圆周运动的圆心C、交点G位于∠MNP的角平分线上，则由几何关系可得：
CDKF是边长为r的正方形．则在三角形NCF中，有：$\sqrt{3}$r=a+r，
解得：r=$\frac{a}{\sqrt{3}-1}$，
由牛顿第二定律得：qv₀B_min=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：B_min=$\frac{（\sqrt{3}-1）m{v}_{0}}{qa}$；
 答：（1）匀强磁场的磁感应强度的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qa}$．
（2）粒子在该磁场中运动的时间为$\frac{5aπ}{3{v}_{0}}$．
（3）该磁场的磁感应强度的最小值为$\frac{（\sqrt{3}-1）m{v}_{0}}{qa}$．

点评 本题主要考查了求磁感应强度、粒子的运动时间等问题，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹，应用几何知识求出粒子的轨道半径与转过的圆心角，应用牛顿第二定律即可正确解题．