题目内容

4．图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．
如果质量为m的鱼饵到达管口C时，对上侧管壁的弹力恰好为mg．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g、求：
（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小VC；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep；
（3）已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线00′在360°角的范围内缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在$\frac{1}{2}$m到$\frac{7}{6}$m之间变化，且均能落到水面．持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？

分析 （1）受力分析后，利用圆周运动向心力公式来解；（2）使用机械能守恒定律可解；（3）利用平抛规律、机械能守恒定律及几何关系求解．

解答 解：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时，对上侧管壁的弹力恰好为mg．所以做圆周运动的向心力由重力和支持力提供，则
     2mg=$m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$                             
解得vC=$\sqrt{2gR}$．                               
（2）弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守恒定律有
     Ep=$mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$                                          
由以上各式解得Ep=3.5mgR                            
（3）当鱼饵的质量为$\frac{1}{2}$m时，设其到达管口C时速度大小为v2，由机械能守恒定律有：
${E}_{P}=\frac{1}{2}mg（1.5+1）R+\frac{1}{2}（\frac{1}{2}m）{v}_{1}^{2}$
代入数据解得：${v}_{1}=3\sqrt{gR}$
不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为$\frac{1}{2}$m的鱼饵离开管口C后做平抛运动，设经过t时间落到水面上，离OO′的水平距离为x1，由平抛运动规律有
   $4.5R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x1=v1t+R                                
由以上各式解得x1=10R              
当鱼饵的质量为$\frac{7}{6}$m时，设其到达管口C时速度大小为v2，由机械能守恒定律有
   Ep=$\frac{7}{6}mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}（\frac{7}{6}m）{v}_{2}^{2}$
解得v2=$\sqrt{gR}$
质量为$\frac{7}{6}$m的鱼饵落到水面上时，设离OO′的水平距离为x2，则
  x2=v2t+R      
可解得：x2=4R
该投饵管绕AB管的中轴线00′在360°角的范围内缓慢转动，鱼饵能够落到水面的最大面积为
$s=（π{x}_{2}^{2}-π{x}_{1}^{2}）=84π{R}^{2}$
答：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小VC=$\sqrt{2gR}$；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep=3.5mgR；
（3）鱼饵能够落到水面的最大面积S是84πR2

点评 本题考查竖立平面内的圆周运动、平抛规律、机械能守恒定律等知识，关键是过程的把握和规律的灵活选择．

练习册系列答案
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?v/1014Hz5.6645.8886.0986.3036.501
根据表格中的数据，作出了Uc-ν图象，如图所示，则根据图象求出：
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①写出上述衰变的核反应方程；
②求粒子x的动能．（保留两位有效数字）

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