题目内容

10．如图（甲）所示，左侧接有定值电阻R=2Ω的水平粗糙导轨处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B=1T，导轨间距为L=1m，一质量m=2kg，阻值r=2Ω的金属棒在拉力F作用下由静止开始从CD处沿导轨向右加速运动，金属棒与导轨间动摩擦因数μ=0.25，g=10m/s2．金属棒的速度-位移图象如图（乙）所示，求从起点发生s=1m位移的过程中．

（1）通过电阻R的感应电量q；
（2）整个系统产生的总热量及拉力所做的功；
（3）在研究金属棒从起点运动到s=1m位移过程所用的时间t时，某同学这样求解：
金属棒在运动过程中平均速度v=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}$=1m/s，
所以时间t=$\frac{s}{v}$=1s
请问该同学的求解是否正确，如果正确，说明理由；如果不正确，请指出错误原因，并给出运动时间的范围．

分析 （1）由感应电荷量公式q=$\frac{△Φ}{R+r}$，求出通过电阻R的感应电量q；
（2）由速度图象得出v与x的关系式，由安培力公式FA=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，得到FA与x的关系式，可知FA与x是线性关系，即可求出发生s=1m位移的过程中安培力做功WA=-$\overline{{F}_{A}}$s，再根据动能定理求解拉力做功；根据能量守恒求解整个系统产生的总热量Q；
（3）由v-x图象的斜率k=$\frac{△v}{△x}$=$\frac{△v}{△t}•\frac{△t}{△x}$=$\frac{a}{v}$，分析加速度的变化，结合速度-时间图象分析时间．

解答 解（1）通过电阻R的感应电量q=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLs}{R+r}$=$\frac{1×1×1}{4}$C=0.25C．
（2）由速度图象得：v=2x，
金属棒所受的安培力FA=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}•2x}{R+r}$，
代入数据得：FA=0.5x，则知FA与x是线性关系．
当x=0时，安培力FA1=0；当x=1m时，安培力FA2=0.5N，则从起点发生s=1m位移的过程中，安培力做功为：
WA=-$\overline{{F}_{A}}$s=$-\frac{{F}_{A1}+{F}_{A2}}{2}s$=-$\frac{0+0.5}{2}×1$J=-0.25J
根据动能定理得：W-μmgs+WA=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
其中v=2m/s，μ=0.25，m=2kg，
代入数据解得，拉力做的功W=9.25J．
根据能量守恒得：W=Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得Q=W-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=9.25J-$\frac{1}{2}×2×{2}^{2}$J=5.25J
（3）该同学的解法是错误的，原因是金属棒做的运动不是匀变速直线运动，平均速度不等于初末速度的平均值；
正确的解法为：
v-x图象的斜率k=$\frac{△v}{△x}$=$\frac{△v}{△t}•\frac{△t}{△x}$=$\frac{a}{v}$，得a=kv=2v，则知速度增大，金属棒的加速度也随之增大，v-t图象的斜率增大，金属棒做加速增大的变加速运动，在相同时间内，达到相同速度时通过的位移小于匀加速运动的位移，平均速度小于匀加速运动的平均速度，即$\overline{v}$＜$\frac{0+v}{2}$=$\frac{0+2}{2}m/s$=1m/s，则t=$\frac{s}{\overline{v}}$$＞\frac{1}{1}s$=1s
答：（1）通过电阻R的感应电量是0.25C；
（2）整个系统产生的总热量是5.25J，拉力所做的功是9.25J；
（3）该同学的求解是错误的，原因是金属棒做的运动不是匀变速直线运动，平均速度不等于初末速度的平均值；运动时间的应大于1s．

点评 本题有两个难点：一是根据v与x的关系，由安培力公式FA=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，得到FA与x的关系式，确定出FA与x是线性关系，即可求出安培力做功；二是根据v-x图象的斜率研究加速度的变化情况，结合v-t图象分析平均速度．

练习册系列答案
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7．两个做直线运动的物体，甲的加速度为2m/s2，乙的加速度为-5m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．甲的加速度比乙的大B．乙的加速度比甲的大
C．甲的速度比乙的速度变化得快D．甲、乙的加速度方向相反
1．如图a所示，水平放置着两根相距为d=0.1m的平行金属导轨MN与PQ，导轨的电阻忽略不计且两导轨用一根电阻也不计的导线相连．导轨上跨放着一根粗细均匀，长为L=0.3m、电阻R=3.0Ω的金属棒ab，金属棒与导轨正交，交点为c、d．整个空间充满垂直于导轨向上的磁场，磁场B随时间变化的规律如图b所示．t=0时刻，金属棒ab在外力的作用下从导轨的最右端以速度v=4.0m/s向左做匀速直线运动，则2s末回路中产生的电流的大小为0.8A，t=8s时金属棒ab两端点间的电势差为2.4V．
18．如图所示，竖直平面内有平行放置的光滑导轨，导轨间距为L，电阻不计，导轨间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2T，方向如图所示．有两根质量均为m=0.1kg、长度均为L=0.2m、电阻均为R=0.8Ω的导体棒ab和cd与导轨接触良好，当用竖直向上的力F使ab棒向上做匀速运动时，cd棒刚好能静止不动，则下列说法正确的是（g取10m/s2）（　　）
A．力F的大小为2NB．ab棒的运动速度是10m/s
C．在1s内，力F做的功为20JD．在1s内，cd棒产生的电热为2.5J
5．如图甲所示为用打点计时器记录小车运动情况的装置，开始时小车在水平玻璃板上做匀速直线运动，后来在薄布面上做匀减速直线运动，所打出的纸带如图乙所示（附有刻度尺），纸带上相邻两点对应的时间间隔为0.02s．

从纸带上记录的点迹情况可知，A、E两点迹之间的距离为7.20cm，小车在玻璃板上做匀速直线运动的速度大小为0.925 m/s，小车在布面上运动的加速度大小为5 m/s2．
15．两根足够长的间距为L的光滑导轨竖直放置，底端接阻值为R的电阻．将阻值也为R金属棒悬挂在一固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图所示．导轨电阻不计，重力加速度为g．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则（　　）
A．释放瞬间金属棒的加速度一定等于g
B．金属棒到达最低点的加速度一定等于g
C．电路上产生的总热量可能等于金属棒重力势能的减少量
D．金属棒的速度为v时，电阻R的电功率为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{4R}$
2．如图甲所示，两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L=1m，导轨平面与水平面的夹角θ=37°角，下端连接阻值R=1Ω的电阻；质量为m=1kg、阻值r=1Ω的匀质金属棒cd放在两导轨上，距离导轨最上端为L1=1m，棒与导轨垂直并保持良好接触，与导轨间的动摩擦因数μ=0.9．整个装置与导轨平面垂直（向上为正）的匀强磁场中，磁感应强度大小随时间变化的情况如图乙所示，已知在0～1.0s内，金属棒cd保持静止，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力取g=10m/s2．

（1）求0～1.0s内电阻R上产生的热量；
（2）求t=1.1s时刻，金属棒cd所受摩擦力的大小；
（3）1.2s后，对金属棒cd施加一沿斜面向上的拉力F，使金属棒cd沿斜面向上做加速度大小a=2m/s2的匀加速运动，请写出拉力F随时间t′（从施加F时开始计时）变化的关系．
19．匀强磁场磁感应强度B=0.2T，磁场宽度l=4m，一正方形金属框边长为l′=1m，每边的电阻r=0.2Ω，金属框以v=10m/s的速度匀速穿过磁场区，其平面始终保持与磁感线方向垂直，如图所示，求：
（1）画出金属框穿过磁场区的过程中，各阶段的等效电路图；
（2）画出金属框穿过磁场区的过程中，金属框内感应电流的i-t图线；（要求写出作图依据）
（3）画出ab两端电压的U-t图线．（要求写出作图依据）．
20．如图所示，水平面上有两根相距d=0.5m的足够长的光滑的平行金属导轨MN和PQ，它们的电阻可忽略不计，在M和P之间接有阻值为R=3.0Ω的定值电阻．导体棒ab质量m=1.0kg，长L=0.5m，其电阻为r=1.0Ω，与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.4T．现在在导体棒ab上施加一个水平向右的力F，使ab以v=10m/s的速度向右做匀速运动时，求：
（1）ab中电流的方向和ab两端的电压多大；
（2）拉力F的大小；
（3）如某时刻撤掉F，则从该时刻起，电阻R总的发热量是多少．

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