Question

9．如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L=1m，导轨平面与水平面夹角α=30°．磁感应强度为B₁=2T的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为L=1m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m₁=2kg、电阻为R₁=1Ω．两金属导轨的上端连接右侧电路，电路中通过导线接一对水平放置的平行金属板，两板间的距离和板长均为d=0.5m，定值电阻为R₂=3Ω．现闭合开关S并将金属棒由静止释放，重力加速度为g=10m/s²，导轨电阻忽略不计．则：

（1）金属棒下滑的最大速度为多大？
（2）当金属棒下滑达到稳定状态时，水平放置的平行金属板间电场强度是多大？
（3）当金属棒下滑达到稳定状态时，在水平放置的平行金属板间加一垂直于纸面向里的匀强磁场B₂=3T，在下板的右端且非常靠近下板的位置有一质量为m₂，带电荷量为q=-1×10^-4C的微粒以某一初速度水平向左射入两板间，要使该带电微粒在电磁场中恰好做匀速圆周运动并能从金属板间射出，该微粒的初速度应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）ab向下加速运动，切割磁感线产生感应电流，产生阻力，加速度减小，当ab受力平衡时速度达最大，由共点力的平衡条件可得出最大速度；
（2）导体棒中产生电动势，ab与电阻组成闭合回路，由闭合电路的欧姆定律可得金属板间的电压，则可求得内部电场强度；
（3）要使粒子做匀速圆周运动，重力与电场力平衡；由平衡关系可求得粒子的质量；要使粒子飞出，由临界条件可知粒子的半径范围，则可由洛仑兹力充当向心力能求得初速度．

解答 解：（1）当金属棒ab匀速下滑时有m₁gsinα=B₁IL…①
I=$\frac{E}{{R}_{总}}$ …②
E=B₁Lv   …③
  R_总=R₁+R₂…④
联立①～④式的v_m=$\frac{{m}_{1}gsinα（{R}_{1}+{R}_{2}）}{{B}_{1}^{2}{L}^{2}}$ ⑤
得v_m=10m/s
（2）由分压原理得$\frac{{B}_{1}L{v}_{m}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{{U}_{c}}{{R}_{2}}$ …⑥
将已知条件代入得U_C=15V
故 E=$\frac{{U}_{c}}{d}$=30V/m  方向由上极板指向下极板              
（3）要满足题意使带电粒子做匀速圆周运动 则$\frac{q{U}_{c}}{d}$=m₂g
由上式可求得  m₂=3×10^-4㎏…⑦
 根据B₂qv=$\frac{{m}_{2}{v}^{2}}{r}$
故r=$\frac{{m}_{2}v}{{B}_{2}q}$ …⑧
由题意分析可知，粒子的圆心在磁场的边界上，若能转回到边界处一定从右边飞出，而若半径增大，打在极板上则不会飞出；
但若半径增大到粒子从上板的左侧飞出时，也可飞出，
故要使带电粒子能从金属极板右边射出，必满足r≤$\frac{d}{2}$…⑨
若从左边飞出，则r≥d…⑩
联立⑦⑧⑨式得v≤0.25m/s（从右边射出）                
联立⑦⑧⑩式得v≥0.5m/s（从左边射出）  
 答：（1）最大速度为10m/s；
（2）板间的场强为30V/m；
（3）若从右端射出，速度≤0.25m/s，若从左端射出，速度≥0.5m/s．

点评 本题将电磁感应用带电粒子在混合场中的运动结合在一起，综合性较强，应注意将其分解；
在磁场中时要注意分析临界条件，由几何图形可找出适合条件的物理规律．