Question

17．一个半径为R、半球形的光滑碗固定不动．碗口处于水平面内．
（1）若将小球静止从碗口内侧释放，运动中能达到的最大速度为多少？
（2）若将质量m的小球静止从碗口内侧释放，从释放开始计时，t时间内重力的平均功率$\overline{P}$，小球尚未到达碗底，则t时间末小球的瞬时速度为多少？
（3）求在上问中t时间末小球重力的瞬时功率为多少？
（4）如图所示，若将小球以沿球面的水平初速度v₀从碗口内侧释放，小球会逐渐转动着下落．在运动到任意位置A时，将速度沿水平方向和沿图中圆弧虚线的切线向下分解，则水平分速度满足v_x=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$（θ为小球与球心O点连线和水平面的夹角）．某次释放后，θ=30°时小球速度最大．求释放初速度v₀（用g、R表示）．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律即可求解速度；
（2）根据平均功率$\overline{P}=\frac{W}{t}$求出高度，再由机械能守恒定律即可求解；
（3）竖直方向瞬时功率P_t=mgv_y，再根据几何关系即可求解；
（4）速度最大处即为其轨迹的最低点，此处小球无沿球面向下的速度分量，再根据动能定理列式即可求解．

解答 解：（1）由机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}mv_m^2=mgR$
   解得：${v_m}=\sqrt{2gR}$
（2）平均功率$\overline P=\frac{mgh}{t}$，解得 $h=\frac{\overline Pt}{mg}$
由机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}mv_t^2=mgh$
 t时间末瞬时速度${v_t}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2g\frac{\overline Pt}{mg}}=\sqrt{\frac{2\overline Pt}{m}}$
（3）竖直方向瞬时功率P_t=mgv_y
而 ${v}_{y}={v}_{t}sinθ={v}_{t}×\frac{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}{{R}^{\;}}=\sqrt{\frac{2\overline{P}t}{m}}×\frac{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}{{R}^{\;}}$
  解得：${P_t}=\sqrt{\frac{{2\overline Pt（{m^2}{g^2}{R^2}-{{\overline P}^2}{t^2}）}}{{m{R^2}}}}$
（4）速度最大处即为其轨迹的最低点，此处小球无沿球面向下的速度分量．则小球速度就是v_x=$\frac{v_0}{cosθ}$，
 根据动能定理（或机械能守恒）
$mgRsinθ=\frac{1}{2}mv_x^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
联立上两式得${v_0}=\sqrt{3gR}$
答：（1）若将小球静止从碗口内侧释放，运动中能达到的最大速度为$\sqrt{2gR}$；
（2）若将质量m的小球静止从碗口内侧释放，从释放开始计时，t时间内重力的平均功率$\overline{P}$，小球尚未到达碗底，则t时间末小球的瞬时速度为$\sqrt{\frac{2\overline{P}t}{m}}$；
（3）求在上问中t时间末小球重力的瞬时功率为$\sqrt{\frac{2\overline{P}t（{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}-{\overline{P}}^{2}{t}^{2}）}{m{R}^{2}}}$；
（4）释放初速度为$\sqrt{3gR}$．

点评 本题主题考查了机械能守恒定律、动能定理以及平均功率和瞬时功率的计算，过程较为复杂，难度适中．